Номер 6, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Постройте график функции $y = \frac{x^2 - x - 12}{x - 4}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x^2 - x - 12}{x - 4}$ сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $x - 4 \neq 0$, что означает $x \neq 4$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме 4.

Далее упростим выражение функции. Для этого разложим числитель $x^2 - x - 12$ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -12. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Следовательно, числитель можно представить в виде произведения: $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$.

Теперь подставим разложение в исходную функцию: $y = \frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 4}$

Так как $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 4)$. В результате получаем линейную функцию: $y = x + 3$

Это означает, что график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = x + 3$ за исключением одной точки, в которой $x=4$. Эту точку называют "выколотой".

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса точки $x = 4$. Для нахождения ординаты подставим это значение в упрощенную функцию $y = x + 3$: $y = 4 + 3 = 7$ Следовательно, точка с координатами $(4, 7)$ не принадлежит графику функции.

Для построения прямой $y = x + 3$ найдем координаты двух любых точек, принадлежащих ей:

• если $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$;
• если $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$, получаем точку $(-3, 0)$.

Таким образом, мы строим прямую линию, проходящую через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(4, 7)$ в виде пустого кружка.

Ответ: График функции $y = \frac{x^2 - x - 12}{x - 4}$ является прямой $y = x + 3$ с выколотой точкой $(4, 7)$.