Номер 6, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 6, страница 90.

Условие.

6. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 12x + 6 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи, не находя сами корни уравнения, мы воспользуемся теоремой Виета. Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами многочлена и его корнями.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 12x + 6 = 0$. Это уравнение приведённое (коэффициент при $x^2$ равен 1) и имеет вид $x^2 + px + q = 0$, где $p=12$ и $q=6$.

Согласно теореме Виета для приведённого квадратного уравнения:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$

Применим эти формулы к нашему уравнению:

$x_1 + x_2 = -12$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Теперь нам нужно найти значение выражения $x_1^2 + x_2^2$. Для этого преобразуем его так, чтобы оно содержало только сумму и произведение корней. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применительно к нашим корням: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Из этой формулы выразим искомую сумму квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь мы можем подставить в это выражение известные нам значения суммы ($x_1 + x_2 = -12$) и произведения ($x_1 \cdot x_2 = 6$) корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (-12)^2 - 2 \cdot 6$

Выполним вычисления:

$x_1^2 + x_2^2 = 144 - 12 = 132$

Ответ: 132