Номер 1, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 1, страница 90.

Условие.

1. Решите уравнение:

1) $7x^2 - 21 = 0;$

2) $5x^2 + 9x = 0;$

3) $x^2 + x - 42 = 0;$

4) $3x^2 - 28x + 9 = 0;$

5) $2x^2 - 8x + 11 = 0;$

6) $16x^2 - 8x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $7x^2 - 21 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на коэффициент при $x^2$.

$7x^2 = 21$

$x^2 = \frac{21}{7}$

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$.

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$.

2) $5x^2 + 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(5x + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$x = 0$

или

$5x + 9 = 0$

$5x = -9$

$x = -\frac{9}{5} = -1.8$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -1.8$.

3) $x^2 + x - 42 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a = 1$, $b = 1$, $c = -42$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: $x_1 = -7$, $x_2 = 6$.

4) $3x^2 - 28x + 9 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Здесь $a = 3$, $b = -28$, $c = 9$.

$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-28) - 26}{2 \cdot 3} = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-28) + 26}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = 9$.

5) $2x^2 - 8x + 11 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Здесь $a = 2$, $b = -8$, $c = 11$.

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 64 - 88 = -24$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

6) $16x^2 - 8x + 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 = 0$

$(4x - 1)^2 = 0$

Извлекаем корень из обеих частей:

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Также можно было найти дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$. Так как $D=0$, уравнение имеет один корень $x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.