Номер 8, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 8, страница 89.

Условие.

8. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{5b^2}$, если $b \le 0$;

2) $\sqrt{12a^4}$;

3) $\sqrt{-a^5}$;

4) $\sqrt{-a^3b^6}$, если $b > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{5b^2}$, воспользуемся свойством корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{5b^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{5} \cdot |b|$.
По условию задачи $b \le 0$. Согласно определению модуля, если число неположительное, то его модуль равен этому числу, взятому с противоположным знаком, то есть $|b| = -b$.
Подставим это в наше выражение:
$\sqrt{5} \cdot |b| = \sqrt{5} \cdot (-b) = -b\sqrt{5}$.
Ответ: $-b\sqrt{5}$

2) Для вынесения множителя из-под знака корня в выражении $\sqrt{12a^4}$ разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными квадратами.
Число $12$ можно представить как $4 \cdot 3$, где $4$ является полным квадратом ($4=2^2$).
Выражение $a^4$ можно представить как $(a^2)^2$.
Тогда $\sqrt{12a^4} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^4} = \sqrt{4 \cdot (a^2)^2 \cdot 3}$.
Используя свойство корня $\sqrt{xyz} = \sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{z}$ (для неотрицательных $x, y, z$), получаем:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot |a^2| \cdot \sqrt{3}$.
Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
Таким образом, получаем $2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} = 2a^2\sqrt{3}$.
Ответ: $2a^2\sqrt{3}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{-a^5}$. Чтобы корень имел смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^5 \ge 0$. Это неравенство выполняется при $a \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь корень:
$-a^5 = a^4 \cdot (-a)$.
Заметим, что $a^4 = (a^2)^2 \ge 0$, и поскольку $a \le 0$, то $-a \ge 0$. Таким образом, оба множителя неотрицательны.
$\sqrt{-a^5} = \sqrt{a^4 \cdot (-a)} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{-a}$.
$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = a^2$.
Следовательно, $\sqrt{-a^5} = a^2\sqrt{-a}$.
Ответ: $a^2\sqrt{-a}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{-a^3b^6}$ при условии $b > 0$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^3b^6 \ge 0$.
Поскольку $b > 0$, то $b^6 > 0$. Разделив неравенство на $b^6$, получим $-a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a^3 \le 0$, и, следовательно, $a \le 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители:
$-a^3b^6 = a^2 \cdot b^6 \cdot (-a)$.
Мы можем вынести из-под корня $a^2$ и $b^6$:
$\sqrt{a^2 \cdot b^6 \cdot (-a)} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{-a}$.
Упростим каждый множитель:
$\sqrt{a^2} = |a|$. Так как $a \le 0$, то $|a| = -a$.
$\sqrt{b^6} = \sqrt{(b^3)^2} = |b^3|$. Так как $b > 0$, то $b^3 > 0$, и $|b^3| = b^3$.
Множитель $\sqrt{-a}$ остается под корнем (он определен, так как $a \le 0$).
Соберем все вместе:
$|a| \cdot |b^3| \cdot \sqrt{-a} = (-a) \cdot b^3 \cdot \sqrt{-a} = -ab^3\sqrt{-a}$.
Ответ: $-ab^3\sqrt{-a}$