Номер 7, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 7, страница 89.

Условие.

7. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{3}{2\sqrt{6}}$

2) $\frac{10}{\sqrt{14}-2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{3}{2\sqrt{6}} $, необходимо домножить и числитель, и знаменатель этой дроби на иррациональную часть знаменателя, то есть на $ \sqrt{6} $. Это действие основано на свойстве квадратного корня $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $.

Выполним умножение:

$ \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot (\sqrt{6})^2} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} $

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$ \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{4} $

2) В знаменателе дроби $ \frac{10}{\sqrt{14}-2} $ стоит выражение, содержащее разность с корнем. Чтобы избавиться от иррациональности в таком случае, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $ \sqrt{14}-2 $ является выражение $ \sqrt{14}+2 $. При их умножении используется формула разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

Домножим дробь на $ \frac{\sqrt{14}+2}{\sqrt{14}+2} $:

$ \frac{10}{\sqrt{14}-2} = \frac{10 \cdot (\sqrt{14}+2)}{(\sqrt{14}-2) \cdot (\sqrt{14}+2)} $

Применим формулу разности квадратов к знаменателю:

$ (\sqrt{14}-2)(\sqrt{14}+2) = (\sqrt{14})^2 - 2^2 = 14 - 4 = 10 $

Подставим полученное значение в знаменатель нашей дроби:

$ \frac{10(\sqrt{14}+2)}{10} $

Теперь мы можем сократить дробь на 10:

$ \sqrt{14}+2 $

Ответ: $ \sqrt{14}+2 $