Номер 4, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 4 - номер 4, страница 89.

Условие.

4. Упростите выражение:

1) $7\sqrt{2} - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{18}$;

2) $(\sqrt{90} - \sqrt{40}) \cdot \sqrt{10}$;

3) $(3\sqrt{5} - 2)^2$;

4) $(2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{5}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $7\sqrt{2} - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{18}$, нужно привести все слагаемые к одному виду, вынеся множители из-под знака корня. Разложим подкоренные выражения на множители: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. Теперь подставим эти значения в исходное выражение: $7\sqrt{2} - 3 \cdot (2\sqrt{2}) + 4 \cdot (3\sqrt{2}) = 7\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки и выполним действия с коэффициентами: $(7 - 6 + 12)\sqrt{2} = 13\sqrt{2}$.

Ответ: $13\sqrt{2}$

2) Для упрощения выражения $(\sqrt{90} - \sqrt{40}) \cdot \sqrt{10}$ раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt{10}$. Получим: $\sqrt{90} \cdot \sqrt{10} - \sqrt{40} \cdot \sqrt{10}$. Используя свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, получаем: $\sqrt{90 \cdot 10} - \sqrt{40 \cdot 10} = \sqrt{900} - \sqrt{400}$. Теперь извлечем квадратные корни: $30 - 20 = 10$.

Ответ: 10

3) Чтобы упростить выражение $(3\sqrt{5} - 2)^2$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 3\sqrt{5}$ и $b = 2$. Подставим значения в формулу: $(3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot 2 + 2^2$. Выполним вычисления для каждого члена: $(9 \cdot 5) - (4 \cdot 3\sqrt{5}) + 4 = 45 - 12\sqrt{5} + 4$. Сложим числовые члены: $45 + 4 - 12\sqrt{5} = 49 - 12\sqrt{5}$.

Ответ: $49 - 12\sqrt{5}$

4) Выражение $(2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{5})$ является произведением суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 3\sqrt{5}$. Подставим значения в формулу: $(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{5})^2$. Возведем в квадрат каждый член: $(2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) - (3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = (4 \cdot 3) - (9 \cdot 5) = 12 - 45$. Вычислим разность: $12 - 45 = -33$.

Ответ: -33