Номер 6, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 6, страница 89.

Условие.

6. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a} + 7}{a - 49}$;

2) $\frac{33 - \sqrt{33}}{\sqrt{33}}$;

3) $\frac{a - 2\sqrt{3a} + 3}{a - 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{a} + 7}{a - 49}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель $a - 49$ является разностью квадратов, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $49 = 7^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a - 49 = (\sqrt{a})^2 - 7^2 = (\sqrt{a} - 7)(\sqrt{a} + 7)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{\sqrt{a} + 7}{a - 49} = \frac{\sqrt{a} + 7}{(\sqrt{a} - 7)(\sqrt{a} + 7)}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a} + 7)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ge 0$ и $a \neq 49$):
$\frac{\cancel{\sqrt{a} + 7}}{(\sqrt{a} - 7)(\cancel{\sqrt{a} + 7})} = \frac{1}{\sqrt{a} - 7}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} - 7}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{33 - \sqrt{33}}{\sqrt{33}}$, представим число $33$ в числителе как произведение корней: $33 = \sqrt{33} \cdot \sqrt{33} = (\sqrt{33})^2$.
Теперь числитель можно переписать как $(\sqrt{33})^2 - \sqrt{33}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{33}$ за скобки:
$\sqrt{33}(\sqrt{33} - 1)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{33}(\sqrt{33} - 1)}{\sqrt{33}}$.
Сокращаем общий множитель $\sqrt{33}$:
$\frac{\cancel{\sqrt{33}}(\sqrt{33} - 1)}{\cancel{\sqrt{33}}} = \sqrt{33} - 1$.
Альтернативный способ — это почленное деление:
$\frac{33 - \sqrt{33}}{\sqrt{33}} = \frac{33}{\sqrt{33}} - \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{33}} = \sqrt{33} - 1$.
Ответ: $\sqrt{33} - 1$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a - 2\sqrt{3a} + 3}{a - 3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a - 2\sqrt{3a} + 3$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим $a = (\sqrt{a})^2$ и $3 = (\sqrt{3})^2$. Тогда удвоенное произведение будет $2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3a}$.
Таким образом, $a - 2\sqrt{3a} + 3 = (\sqrt{a} - \sqrt{3})^2$.
Знаменатель $a - 3$ является разностью квадратов:
$a - 3 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})$.
Теперь перепишем дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{3})$ (при условии, что $a \ge 0$ и $a \neq 3$):
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})^{\cancel{2}}}{(\cancel{\sqrt{a} - \sqrt{3}})(\sqrt{a} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.