Номер 9, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 4 - номер 9, страница 90.

Условие.

9. Упростите выражение $ \sqrt{(13 - \sqrt{101})^2} - \sqrt{(\sqrt{101} - 11)^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для упрощения данного выражения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $ \sqrt{a^2} = |a| $. Это означает, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

Применим это правило к обоим членам исходного выражения:
$ \sqrt{(13 - \sqrt{101})^2} - \sqrt{(\sqrt{101} - 11)^2} = |13 - \sqrt{101}| - |\sqrt{101} - 11| $

Далее, чтобы раскрыть модули, нам нужно определить знаки выражений, стоящих под знаком модуля.

Определение знака выражения $13 - \sqrt{101}$
Сравним числа $13$ и $\sqrt{101}$. Для этого возведем оба числа в квадрат:
$13^2 = 169$
$(\sqrt{101})^2 = 101$
Поскольку $169 > 101$, то $13 > \sqrt{101}$. Это означает, что разность $13 - \sqrt{101}$ является положительным числом. Следовательно, по определению модуля: $|13 - \sqrt{101}| = 13 - \sqrt{101}$.

Определение знака выражения $\sqrt{101} - 11$
Сравним числа $\sqrt{101}$ и $11$. Возведем их в квадрат:
$(\sqrt{101})^2 = 101$
$11^2 = 121$
Поскольку $101 < 121$, то $\sqrt{101} < 11$. Это означает, что разность $\sqrt{101} - 11$ является отрицательным числом. Следовательно, по определению модуля: $|\sqrt{101} - 11| = -(\sqrt{101} - 11) = 11 - \sqrt{101}$.

Теперь подставим раскрытые модули обратно в выражение:
$(13 - \sqrt{101}) - (11 - \sqrt{101})$

Раскроем скобки и выполним вычисления:
$13 - \sqrt{101} - 11 + \sqrt{101} = (13 - 11) + (-\sqrt{101} + \sqrt{101}) = 2 + 0 = 2$

Ответ: 2