Номер 1, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 1, страница 90.

Условие.

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + 10x - 24$;

2) $3x^2 - 11x + 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 + 10x - 24$

Для разложения квадратного трёхчлена на множители используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала найдём корни уравнения $x^2 + 10x - 24 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=10$, $c=-24$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Теперь подставим значения коэффициента $a=1$ и корней $x_1=2$, $x_2=-12$ в формулу разложения:

$x^2 + 10x - 24 = 1 \cdot (x - 2)(x - (-12)) = (x - 2)(x + 12)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 12)$.

2) $3x^2 - 11x + 6$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала найдём корни квадратного уравнения $3x^2 - 11x + 6 = 0$.

Здесь коэффициенты: $a=3$, $b=-11$, $c=6$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49$.

Найдём корни уравнения, используя $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$:

$x_1 = \frac{-(-11) + 7}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-11) - 7}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Подставим коэффициент $a=3$ и найденные корни $x_1=3$, $x_2=\frac{2}{3}$ в формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$3x^2 - 11x + 6 = 3(x - 3)(x - \frac{2}{3})$.

Чтобы избавиться от дроби в скобках, можно внести множитель 3 во вторую скобку:

$3(x - 3)(x - \frac{2}{3}) = (x - 3)(3 \cdot x - 3 \cdot \frac{2}{3}) = (x - 3)(3x - 2)$.

Ответ: $(x - 3)(3x - 2)$.