Номер 2, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 2, страница 90.

Условие.

2. Решите уравнение:

1) $x^4 - 24x^2 - 25 = 0;$

2) $\frac{x^2 + 5x}{x - 1} = \frac{6}{x - 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^4 - 24x^2 - 25 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 24t - 25 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Теперь вернемся к условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 25$ удовлетворяет этому условию ($25 \ge 0$).
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию ($-1 < 0$), поэтому он является посторонним и не дает действительных решений для $x$.
Выполним обратную замену для $t_1 = 25$:
$x^2 = 25$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$

Ответ: $-5; 5$.

2) $\frac{x^2 + 5x}{x - 1} = \frac{6}{x - 1}$

Это дробно-рациональное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$x - 1 \neq 0$
$x \neq 1$
На ОДЗ мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 1)$, что равносильно приравниванию числителей:
$x^2 + 5x = 6$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 6 = 0$
Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 1$).
Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как при $x=1$ знаменатель исходной дроби равен нулю. Следовательно, $x = 1$ — посторонний корень.
Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 \neq 1$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-6$.