Номер 5, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 6 - номер 5, страница 91.

Условие.

5. Пассажирский поезд проходит расстояние, равное 120 км, на 1 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть скорость пассажирского поезда равна $x$ км/ч. Поскольку скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, то его скорость составляет $(x - 20)$ км/ч.

Оба поезда проходят расстояние, равное 120 км. Время, которое тратит на этот путь пассажирский поезд, можно выразить формулой $t_{пасс} = \frac{S}{v_{пасс}} = \frac{120}{x}$ часов. Время, которое тратит товарный поезд, составляет $t_{тов} = \frac{S}{v_{тов}} = \frac{120}{x - 20}$ часов.

По условию задачи, пассажирский поезд находится в пути на 1 час меньше, чем товарный. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{тов} - t_{пасс} = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{120}{x - 20} - \frac{120}{x} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 20)$. Учтем, что $x > 0$ и $x - 20 > 0$, следовательно $x > 20$.

$\frac{120x - 120(x - 20)}{x(x - 20)} = 1$

$120x - 120x + 2400 = x(x - 20)$

$2400 = x^2 - 20x$

Мы получили квадратное уравнение:

$x^2 - 20x - 2400 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-20) + 100}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-20) - 100}{2 \cdot 1} = \frac{-80}{2} = -40$

Корень $x_2 = -40$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость пассажирского поезда составляет 60 км/ч.

Теперь найдем скорость товарного поезда:

$x - 20 = 60 - 20 = 40$ км/ч.

Проверим решение:
Время пассажирского поезда: $120 / 60 = 2$ часа.
Время товарного поезда: $120 / 40 = 3$ часа.
Разница во времени: $3 - 2 = 1$ час, что соответствует условию.

Ответ: скорость пассажирского поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 40 км/ч.