Номер 3, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3.Сократите дробь $\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 4}$.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 4}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Сначала разложим на множители знаменатель $a^2 - 4$. Это разность квадратов, которая раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a-2)(a+2)$

2. Далее разложим на множители числитель $3a^2 - 5a - 2$. Это квадратичный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3a^2 - 5a - 2 = 0$.

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения через дискриминант. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Теперь найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$a_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь разложим квадратичный трехчлен на множители по формуле $k(a - a_1)(a - a_2)$:

$3a^2 - 5a - 2 = 3(a - 2)(a - (-\frac{1}{3})) = 3(a - 2)(a + \frac{1}{3})$

Чтобы избавиться от дроби в скобках, внесем множитель 3 во вторую скобку:

$3(a - 2)(a + \frac{1}{3}) = (a - 2)(3a + 3 \cdot \frac{1}{3}) = (a-2)(3a+1)$

3. Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь и выполним сокращение.

$\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 4} = \frac{(a-2)(3a+1)}{(a-2)(a+2)}$

Сократим общий множитель $(a-2)$, при условии, что $a \neq 2$:

$\frac{\cancel{(a-2)}(3a+1)}{\cancel{(a-2)}(a+2)} = \frac{3a+1}{a+2}$

Ответ: $\frac{3a+1}{a+2}$