Номер 3, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим длину диагонали прямоугольника как $d$, а длины его сторон как $a$ и $b$.

Из условия задачи следует:
Диагональ на 8 см больше одной стороны: $d = a + 8$. Отсюда можно выразить сторону $a$: $a = d - 8$.
Диагональ на 4 см больше другой стороны: $d = b + 4$. Отсюда можно выразить сторону $b$: $b = d - 4$.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, где диагональ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов (сторон) равна квадрату гипотенузы (диагонали):
$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим выражения для $a$ и $b$ в это уравнение:
$(d - 8)^2 + (d - 4)^2 = d^2$

Теперь решим это уравнение относительно $d$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(d^2 - 2 \cdot d \cdot 8 + 8^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 4 + 4^2) = d^2$
$(d^2 - 16d + 64) + (d^2 - 8d + 16) = d^2$

Приведем подобные члены:
$2d^2 - 24d + 80 = d^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2d^2 - d^2 - 24d + 80 = 0$
$d^2 - 24d + 80 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
$d_1 = \frac{-(-24) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$d_2 = \frac{-(-24) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Нам нужно проверить, какой из корней является решением задачи. Длины сторон прямоугольника ($a = d - 8$ и $b = d - 4$) должны быть положительными.
1. Если $d = 20$ см:
$a = 20 - 8 = 12$ см
$b = 20 - 4 = 16$ см
Оба значения положительны, следовательно, это решение подходит.
2. Если $d = 4$ см:
$a = 4 - 8 = -4$ см
Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому значение $d = 4$ не является решением задачи.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.