Номер 4, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Решите уравнение:

$\frac{6}{x^2 - 36} - \frac{3}{x^2 - 6x} + \frac{x - 12}{x^2 + 6x} = 0.$

Исходное уравнение:$$ \frac{6}{x^2 - 36} - \frac{3}{x^2 - 6x} + \frac{x - 12}{x^2 + 6x} = 0 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$x^2 - 36 \neq 0 \implies (x-6)(x+6) \neq 0 \implies x \neq 6$ и $x \neq -6$.

$x^2 - 6x \neq 0 \implies x(x-6) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 6$.

$x^2 + 6x \neq 0 \implies x(x+6) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -6$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$

$x^2 - 6x = x(x-6)$

$x^2 + 6x = x(x+6)$

Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$.

Перепишем уравнение с общим знаменателем:$$ \frac{6 \cdot x}{x(x - 6)(x + 6)} - \frac{3 \cdot (x+6)}{x(x - 6)(x+6)} + \frac{(x - 12) \cdot (x-6)}{x(x - 6)(x+6)} = 0 $$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-6)(x+6)$, который не равен нулю в ОДЗ, и перейдем к решению уравнения с числителями:$$ 6x - 3(x+6) + (x-12)(x-6) = 0 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:$$ 6x - 3x - 18 + x^2 - 6x - 12x + 72 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые:$$ x^2 + (6x - 3x - 6x - 12x) + (-18 + 72) = 0 $$$$ x^2 - 15x + 54 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 54, а сумма равна 15. Это числа 6 и 9.

$x_1 + x_2 = 6 + 9 = 15$

$x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot 9 = 54$

Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$).

Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=6$ знаменатели $x^2-36$ и $x^2-6x$ обращаются в ноль. Следовательно, $x=6$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $9$.