Номер 5, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Докажите тождество:

$\left(\frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25}\right) : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = -\frac{a}{a + 5}$

Для доказательства тождества необходимо преобразовать левую часть равенства и показать, что она равна правой части. Обозначим левую часть как ЛЧ, а правую — как ПЧ.

ЛЧ = $ \left( \frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a-8}{a^2 - 10a + 25} \right) : \frac{a-20}{(a-5)^2} $

Преобразуем выражение по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a^2 - 25 = a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5)$

$a^2 - 10a + 25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$ \frac{a}{(a-5)(a+5)} - \frac{a-8}{(a-5)^2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-5)^2(a+5)$:

$ \frac{a(a-5)}{(a-5)^2(a+5)} - \frac{(a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} $

Выполним вычитание дробей, объединив числители:

$ \frac{a(a-5) - (a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ a(a-5) - (a-8)(a+5) = (a^2 - 5a) - (a^2 + 5a - 8a - 40) = a^2 - 5a - (a^2 - 3a - 40) = a^2 - 5a - a^2 + 3a + 40 = -2a + 40 $

Вынесем общий множитель -2 за скобки:

$ -2a + 40 = -2(a-20) $

Таким образом, результат первого действия (выражение в скобках) равен:

$ \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} : \frac{a-20}{(a-5)^2} = \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{a-20} $

Сократим общие множители $(a-5)^2$ и $(a-20)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 5$ и $a \neq 20$):

$ \frac{-2(\cancel{a-20})}{(\cancel{(a-5)^2})(a+5)} \cdot \frac{\cancel{(a-5)^2}}{\cancel{a-20}} = \frac{-2}{a+5} $

Итак, после преобразования левой части (ЛЧ) мы получили выражение $ -\frac{2}{a+5} $.

Правая часть (ПЧ) исходного равенства равна $ -\frac{a}{a+5} $.

Сравним полученные выражения:

ЛЧ = $ -\frac{2}{a+5} $

ПЧ = $ -\frac{a}{a+5} $

Равенство $ -\frac{2}{a+5} = -\frac{a}{a+5} $ верно только в частном случае при $a=2$, но не для всех допустимых значений $a$. Тождество должно быть верным для всех допустимых значений переменной.

Следовательно, данное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Если бы правая часть была равна $ -\frac{2}{a+5} $, тождество было бы верным.

Ответ: В результате упрощения левой части равенства получается выражение $ -\frac{2}{a+5} $, которое не равно тождественно правой части $ -\frac{a}{a+5} $. Таким образом, доказать предложенное тождество невозможно, так как оно не является верным.