Номер 4, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 7 - номер 4, страница 91.

Условие.

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $ \frac{x-8}{3x^2 - 10x + 3} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное выражение представляет собой дробь. Дробное выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Таким образом, область допустимых значений переменной x — это все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем значения x, при которых знаменатель $3x^2 - 10x + 3$ равен нулю. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение:

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Поскольку дискриминант $D = 64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Следовательно, при $x = \frac{1}{3}$ и $x = 3$ знаменатель дроби равен нулю, и выражение не имеет смысла. Для всех остальных значений x выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл при всех действительных значениях x, кроме $x = \frac{1}{3}$ и $x = 3$. Это можно записать в виде $x \neq \frac{1}{3}$ и $x \neq 3$, или в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; 3) \cup (3; +\infty)$.