Номер 9, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 9, страница 89.

Условие.

9. Порядок числа $a$ равен $-5$, а порядок числа $b$ равен $4$.

Каким может быть порядок значения выражения:

1) $ab$;

2) $10a + b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Порядком числа называется степень десятки в стандартной записи этого числа. Стандартная запись числа $x$ имеет вид $m \times 10^n$, где $1 \le |m| < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ и является порядком числа $x$.

Из условия задачи известно:

• Порядок числа $a$ равен -5. Это означает, что $a = m_a \times 10^{-5}$, где $1 \le |m_a| < 10$.
• Порядок числа $b$ равен 4. Это означает, что $b = m_b \times 10^4$, где $1 \le |m_b| < 10$.

Рассмотрим каждое выражение.

1) ab

Найдем произведение чисел $a$ и $b$:
$ab = (m_a \times 10^{-5}) \times (m_b \times 10^4) = (m_a \cdot m_b) \times 10^{-5+4} = (m_a \cdot m_b) \times 10^{-1}$.

Чтобы определить порядок произведения, нужно привести его к стандартному виду. Для этого проанализируем значение мантиссы $M = m_a \cdot m_b$.
Поскольку $1 \le |m_a| < 10$ и $1 \le |m_b| < 10$, то для их произведения выполняется неравенство: $1 \times 1 \le |m_a \cdot m_b| < 10 \times 10$, то есть $1 \le |M| < 100$.

Возможны два случая:

1. $1 \le |M| < 10$. В этом случае выражение $M \times 10^{-1}$ уже записано в стандартном виде. Его порядок равен -1.
   Например, пусть $a = 2 \times 10^{-5}$ и $b = 4 \times 10^4$. Тогда $ab = (2 \cdot 4) \times 10^{-1} = 8 \times 10^{-1}$. Порядок равен -1.
2. $10 \le |M| < 100$. В этом случае мантиссу $M$ нужно привести к стандартному виду, представив ее как $M = M' \times 10^1$, где $1 \le |M'| < 10$.
   Тогда $ab = (M' \times 10^1) \times 10^{-1} = M' \times 10^{1-1} = M' \times 10^0$. Порядок такого числа равен 0.
   Например, пусть $a = 5 \times 10^{-5}$ и $b = 6 \times 10^4$. Тогда $ab = (5 \cdot 6) \times 10^{-1} = 30 \times 10^{-1}$. Приводя к стандартному виду, получаем $30 \times 10^{-1} = (3 \times 10^1) \times 10^{-1} = 3 \times 10^0$. Порядок равен 0.

Таким образом, порядок произведения $ab$ может быть равен -1 или 0.

Ответ: Порядок выражения $ab$ может быть равен -1 или 0.

2) 10a + b

Сначала найдем порядок числа $10a$:
$10a = 10 \times (m_a \times 10^{-5}) = m_a \times 10^{1-5} = m_a \times 10^{-4}$.
Так как $1 \le |m_a| < 10$, то порядок числа $10a$ равен -4.

Теперь рассмотрим сумму $S = 10a + b = m_a \times 10^{-4} + m_b \times 10^4$.
Поскольку порядок числа $b$ (равный 4) намного больше порядка числа $10a$ (равного -4), значение суммы будет в основном определяться слагаемым $b$. Для точного определения порядка приведем слагаемые к одной степени 10, выбрав наибольшую (4):
$S = (m_a \times 10^{-4} \times 10^{-4}) + (m_b \times 10^4) = (m_a \times 10^{-8}) \times 10^4 + m_b \times 10^4 = (m_b + m_a \times 10^{-8}) \times 10^4$.

Пусть новая мантисса равна $M = m_b + m_a \times 10^{-8}$. Член $m_a \times 10^{-8}$ очень мал по сравнению с $m_b$. Порядок суммы $S$ зависит от значения $|M|$.

1. Порядок может быть равен 4. Это основной случай, когда $|M|$ остается в пределах от 1 до 10.
   Например, пусть $a = 2 \times 10^{-5}$ и $b = 5 \times 10^4$.
   $10a+b = 2 \times 10^{-4} + 5 \times 10^4 = 50000.0002 = 5.00000002 \times 10^4$. Порядок равен 4.
2. Порядок может быть равен 3. Это произойдет, если $|M|$ станет меньше 1. Такое возможно, если $m_b$ и $m_a$ имеют разные знаки, а $|m_b|$ близко к 1.
   Например, пусть $b = 1 \times 10^4$ (где $m_b=1$) и $a = -5 \times 10^{-5}$ (где $m_a=-5$).
   $10a+b = -5 \times 10^{-4} + 1 \times 10^4 = 10000 - 0.0005 = 9999.9995$.
   В стандартном виде: $9999.9995 = 9.9999995 \times 10^3$. Порядок равен 3.
3. Порядок может быть равен 5. Это произойдет, если $|M|$ станет равен или больше 10. Такое возможно, если $m_b$ и $m_a$ имеют одинаковые знаки, а $|m_b|$ очень близко к 10.
   Например, пусть $b = 9.99999999 \times 10^4$ (где $m_b$ очень близок к 10) и $a = 2 \times 10^{-5}$ (где $m_a=2$).
   Новая мантисса $M = m_b + m_a \times 10^{-8} = 9.99999999 + 2 \times 10^{-8} = 9.99999999 + 0.00000002 = 10.00000001$.
   Тогда $S = 10.00000001 \times 10^4$.
   В стандартном виде: $10.00000001 \times 10^4 = (1.000000001 \times 10^1) \times 10^4 = 1.000000001 \times 10^5$. Порядок равен 5.

Таким образом, порядок выражения $10a+b$ может быть равен 3, 4 или 5.

Ответ: Порядок выражения $10a+b$ может быть равен 3, 4 или 5.