Номер 7, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Вычислите:

1) $(216 \cdot 6^{-5})^3 \cdot (36^{-2})^{-1}$;

2) $\frac{(-81)^{-5} \cdot 27^{-3}}{9^{-15}}$.

1) $(216 \cdot 6^{-5})^3 \cdot (36^{-2})^{-1}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим числа 216 и 36 как степени числа 6:

$216 = 6^3$

$36 = 6^2$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$(6^3 \cdot 6^{-5})^3 \cdot ((6^2)^{-2})^{-1}$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для выражения в первой скобке:

$6^3 \cdot 6^{-5} = 6^{3 + (-5)} = 6^{-2}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для обеих частей выражения:

$(6^{-2})^3 = 6^{-2 \cdot 3} = 6^{-6}$

$((6^2)^{-2})^{-1} = (6^{2 \cdot (-2)})^{-1} = (6^{-4})^{-1} = 6^{-4 \cdot (-1)} = 6^4$

Теперь перемножим полученные результаты:

$6^{-6} \cdot 6^4 = 6^{-6 + 4} = 6^{-2}$

Вычислим конечное значение:

$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

2) $\frac{(-81)^{-5} \cdot 27^{-3}}{9^{-15}}$

Для решения этого примера представим все основания степеней (81, 27, 9) как степени числа 3:

$81 = 3^4$

$27 = 3^3$

$9 = 3^2$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(-3^4)^{-5} \cdot (3^3)^{-3}}{(3^2)^{-15}}$

Раскроем скобки в числителе. Так как степень -5 нечетная, знак минус сохраняется:

$(-3^4)^{-5} = (-1 \cdot 3^4)^{-5} = (-1)^{-5} \cdot (3^4)^{-5} = -1 \cdot 3^{4 \cdot (-5)} = -3^{-20}$

Теперь преобразуем все выражение, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

Числитель: $-3^{-20} \cdot (3^3)^{-3} = -3^{-20} \cdot 3^{3 \cdot (-3)} = -3^{-20} \cdot 3^{-9}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$-3^{-20} \cdot 3^{-9} = -3^{-20 + (-9)} = -3^{-29}$

Знаменатель: $(3^2)^{-15} = 3^{2 \cdot (-15)} = 3^{-30}$

Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{-3^{-29}}{3^{-30}} = -3^{-29 - (-30)} = -3^{-29 + 30} = -3^1 = -3$

Ответ: $-3$