Номер 4, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 4, страница 88.

Условие.

4. Известно, что $64x^2 + \frac{1}{x^2} = 65$. Найдите значение выражения $8x + \frac{1}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Заметим, что выражение $64x^2+\frac{1}{x^2}$ является частью квадрата выражения $8x+\frac{1}{x}$.
Давайте возведем выражение $8x+\frac{1}{x}$ в квадрат:
$(8x+\frac{1}{x})^2 = (8x)^2 + 2 \cdot 8x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2$
Упростим полученное выражение:
$(8x+\frac{1}{x})^2 = 64x^2 + 16 + \frac{1}{x^2}$
Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы использовать известное нам из условия значение:
$(8x+\frac{1}{x})^2 = (64x^2 + \frac{1}{x^2}) + 16$
По условию задачи нам дано, что $64x^2+\frac{1}{x^2} = 65$. Подставим это значение в наше уравнение:
$(8x+\frac{1}{x})^2 = 65 + 16$
$(8x+\frac{1}{x})^2 = 81$
Теперь, чтобы найти значение выражения $8x+\frac{1}{x}$, нужно извлечь квадратный корень из 81. Следует учесть, что корень может быть как положительным, так и отрицательным.
$8x+\frac{1}{x} = \sqrt{81}$ или $8x+\frac{1}{x} = -\sqrt{81}$
$8x+\frac{1}{x} = 9$ или $8x+\frac{1}{x} = -9$
Таким образом, искомое выражение может принимать два значения.
Ответ: 9 или -9.