Номер 2, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 2 - номер 2, страница 88.

Условие.

2. Упростите выражение:

1) $\frac{2a}{a-2} + \frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2}$;

2) $\left(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}\right) : \frac{2a}{1-a^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Упростим выражение $ \frac{2a}{a-2} + \frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2} $ по действиям.

1. Сначала выполним умножение дробей. Для этого разложим на множители знаменатели дробей, участвующих в умножении:

$ 8-4a = 4(2-a) = -4(a-2) $

$ 7a+a^2 = a(7+a) = a(a+7) $

Теперь выполним умножение, подставив разложенные знаменатели:

$ \frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2} = \frac{a+7}{-4(a-2)} \cdot \frac{32}{a(a+7)} $

Сократим дробь на общие множители $ (a+7) $ и на 4 (при условии, что $ a \neq -7 $):

$ \frac{1}{-(a-2)} \cdot \frac{8}{a} = \frac{8}{-a(a-2)} = -\frac{8}{a(a-2)} $

2. Теперь выполним сложение:

$ \frac{2a}{a-2} + (-\frac{8}{a(a-2)}) = \frac{2a}{a-2} - \frac{8}{a(a-2)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-2) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ a $:

$ \frac{2a \cdot a}{a(a-2)} - \frac{8}{a(a-2)} = \frac{2a^2 - 8}{a(a-2)} $

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки, а затем применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 2a^2 - 8 = 2(a^2 - 4) = 2(a-2)(a+2) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $ (a-2) $ (при условии, что $ a \neq 2 $):

$ \frac{2(a-2)(a+2)}{a(a-2)} = \frac{2(a+2)}{a} $

Ответ: $ \frac{2(a+2)}{a} $.

2)

Упростим выражение $ (\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}) : \frac{2a}{1-a^2} $ по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{a-1}{a+1} $ и $ \frac{a+1}{a-1} $ равен $ (a+1)(a-1) = a^2-1 $.

$ \frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} = \frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{a^2-1} $

Раскроем числитель по формулам квадрата разности и квадрата суммы:

$ (a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1) = a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1 = -4a $

Результат первого действия: $ \frac{-4a}{a^2-1} $.

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{-4a}{a^2-1} : \frac{2a}{1-a^2} = \frac{-4a}{a^2-1} \cdot \frac{1-a^2}{2a} $

Заметим, что $ 1-a^2 = -(a^2-1) $. Подставим это в выражение:

$ \frac{-4a}{a^2-1} \cdot \frac{-(a^2-1)}{2a} $

Сократим общие множители $ (a^2-1) $ и $ 2a $ (при условии, что $ a \neq \pm 1 $ и $ a \neq 0 $):

$ \frac{-4a}{2a} \cdot \frac{-(a^2-1)}{(a^2-1)} = -2 \cdot (-1) = 2 $

Ответ: $ 2 $.