Номер 2, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1. Контрольные работы. Вариант 1 - номер 2, страница 87.

Условие.

2. Сократите дробь:

1) $\frac{24a^6b^4}{16a^3b^7};$

2) $\frac{15x - 10xy}{5xy};$

3) $\frac{m^2 - 4}{2m - 4};$

4) $\frac{25 - a^2}{a^2 - 10a + 25};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{24a^6b^4}{16a^3b^7}$

Для сокращения дроби разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Сначала сократим числовые коэффициенты 24 и 16. Их наибольший общий делитель равен 8.

$\frac{24}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{3}{2}$

Теперь сократим степени переменных, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Для переменной a: $\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$.

Для переменной b: $\frac{b^4}{b^7} = \frac{1}{b^{7-4}} = \frac{1}{b^3}$.

Собираем все вместе:

$\frac{24a^6b^4}{16a^3b^7} = \frac{24}{16} \cdot \frac{a^6}{a^3} \cdot \frac{b^4}{b^7} = \frac{3}{2} \cdot a^3 \cdot \frac{1}{b^3} = \frac{3a^3}{2b^3}$

Ответ: $\frac{3a^3}{2b^3}$

2) $\frac{15x-10xy}{5xy}$

Для сокращения этой дроби сначала вынесем общий множитель в числителе. Общим множителем для $15x$ и $-10xy$ является $5x$.

$15x - 10xy = 5x \cdot 3 - 5x \cdot 2y = 5x(3-2y)$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{5x(3-2y)}{5xy}$

Сократим общий множитель $5x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):

$\frac{\cancel{5x}(3-2y)}{\cancel{5x}y} = \frac{3-2y}{y}$

Дробь также можно представить в виде разности: $\frac{3}{y} - \frac{2y}{y} = \frac{3}{y} - 2$.

Ответ: $\frac{3-2y}{y}$

3) $\frac{m^2 - 4}{2m - 4}$

Чтобы сократить дробь, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $m^2 - 4$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m-2)(m+2)$

В знаменателе $2m - 4$ вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2m - 4 = 2(m-2)$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{(m-2)(m+2)}{2(m-2)}$

Сократим общий множитель $(m-2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $m \neq 2$):

$\frac{\cancel{(m-2)}(m+2)}{2\cancel{(m-2)}} = \frac{m+2}{2}$

Ответ: $\frac{m+2}{2}$

4) $\frac{25 - a^2}{a^2 - 10a + 25}$

Для сокращения дроби разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $25 - a^2$ является разностью квадратов:

$25 - a^2 = 5^2 - a^2 = (5-a)(5+a)$

Знаменатель $a^2 - 10a + 25$ является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a^2 - 10a + 25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(5-a)(5+a)}{(a-5)^2}$

Заметим, что множители $(5-a)$ и $(a-5)$ отличаются только знаком: $(5-a) = -(a-5)$. Заменим $(5-a)$ в числителе:

$\frac{-(a-5)(a+5)}{(a-5)^2} = \frac{-(a-5)(a+5)}{(a-5)(a-5)}$

Теперь сократим общий множитель $(a-5)$ (при условии, что $a \neq 5$):

$\frac{-\cancel{(a-5)}(a+5)}{\cancel{(a-5)}(a-5)} = \frac{-(a+5)}{a-5}$

Этот результат можно также записать как $-\frac{a+5}{a-5}$ или $\frac{a+5}{5-a}$.

Ответ: $\frac{-(a+5)}{a-5}$