Номер 175, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 175, страница 86.

Условие.

175. Набирая ежедневно на 3 страницы больше, чем планировалось, наборщик закончил набирать книгу объёмом 60 страниц на день раньше срока. Сколько страниц планировалось набирать за один день?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $x$ — количество страниц, которое наборщик планировал набирать за один день. Так как по условию он набирал ежедневно на 3 страницы больше, то его фактическая производительность составила $(x+3)$ страниц в день.

Общий объем книги — 60 страниц.

Время, которое планировалось потратить на набор всей книги, можно выразить как отношение общего объема работы к плановой производительности: $t_{план} = \frac{60}{x}$ дней.

Фактическое время, затраченное на набор книги, составляет: $t_{факт} = \frac{60}{x+3}$ дней.

Из условия известно, что наборщик закончил работу на 1 день раньше срока. Это означает, что разница между планируемым и фактическим временем равна 1 дню. Составим и решим уравнение:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+3} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{60(x+3) - 60x}{x(x+3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60x + 180 - 60x}{x(x+3)} = 1$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{180}{x^2 + 3x} = 1$

Поскольку $x$ — это количество страниц, то $x>0$, и знаменатель не может быть равен нулю. Умножим обе части уравнения на $x^2 + 3x$:

$180 = x^2 + 3x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 180 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Количество страниц, набираемых в день ($x$), не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -15$ не является решением задачи.

Таким образом, планировалось набирать 12 страниц в день.

Проверим полученный результат:

Плановое время работы: $\frac{60}{12} = 5$ дней.

Фактическая производительность: $12 + 3 = 15$ страниц в день.

Фактическое время работы: $\frac{60}{15} = 4$ дня.

Разница во времени: $5 - 4 = 1$ день, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 12 страниц.