Номер 173, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 173, страница 85.

Условие.

173. Теплоход прошёл 8 км по озеру, а затем 49 км по реке, впадающей в это озеро, за 2 ч. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость теплохода, которую необходимо найти.

Согласно условию, скорость течения реки составляет 4 км/ч. Теплоход прошел 8 км по озеру, а затем 49 км по реке, которая впадает в это озеро. Это означает, что теплоход двигался из озера вверх по реке, то есть против течения.

1. Определим время движения по озеру.
В озере (стоячей воде) течения нет, поэтому скорость теплохода равна его собственной скорости, то есть $x$ км/ч. Время, затраченное на путь по озеру, находим по формуле $t = S/v$:
$t_о = \frac{8}{x}$ часов.

2. Определим время движения по реке.
При движении против течения скорость теплохода уменьшается на величину скорости течения. Скорость теплохода против течения составляет $(x - 4)$ км/ч. Важно отметить, что для возможности такого движения собственная скорость теплохода должна быть больше скорости течения, то есть $x > 4$.
Время, затраченное на путь по реке, составляет:
$t_р = \frac{49}{x - 4}$ часов.

3. Составим и решим уравнение.
Общее время в пути, по условию задачи, равно 2 часам. Сложим время движения по озеру и по реке, чтобы составить уравнение:
$t_о + t_р = 2$
$\frac{8}{x} + \frac{49}{x - 4} = 2$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 4)$ и умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 4$:
$8(x - 4) + 49x = 2x(x - 4)$
$8x - 32 + 49x = 2x^2 - 8x$
$57x - 32 = 2x^2 - 8x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 8x - 57x + 32 = 0$
$2x^2 - 65x + 32 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-65)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 32 = 4225 - 256 = 3969$
$\sqrt{D} = \sqrt{3969} = 63$
Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{65 + 63}{2 \cdot 2} = \frac{128}{4} = 32$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{65 - 63}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Проверим найденные корни на соответствие физическому смыслу задачи и ограничению $x > 4$.
Корень $x_1 = 32$ удовлетворяет условию, так как $32 > 4$.
Корень $x_2 = 0.5$ не удовлетворяет условию, так как $0.5 < 4$. Этот корень является посторонним, поскольку при такой собственной скорости теплоход не смог бы двигаться против течения реки, скорость которого 4 км/ч.

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 32 км/ч.

Выполним проверку:
Время движения по озеру: $t_о = \frac{8 \text{ км}}{32 \text{ км/ч}} = 0.25$ часа.
Время движения по реке (скорость против течения $32-4=28$ км/ч): $t_р = \frac{49 \text{ км}}{28 \text{ км/ч}} = 1.75$ часа.
Общее время: $t_{общ} = 0.25 \text{ ч} + 1.75 \text{ ч} = 2$ часа.
Полученное время совпадает с условием задачи, значит, решение найдено верно.

Ответ: 32 км/ч.