Номер 178, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 178, страница 86.

Условие.

178. Первый экскаватор работал на рытье котлована 2 ч, после чего к нему присоединился второй экскаватор. Через 1 ч совместной работы была вырыта $\frac{1}{4}$ котлована. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор самостоятельно, если второму для этого требуется на 6 ч меньше, чем первому?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменные. Пусть время, за которое первый экскаватор может вырыть весь котлован самостоятельно, равно $x$ часов. Согласно условию, второй экскаватор может выполнить эту же работу на 6 часов быстрее, следовательно, его время составляет $(x - 6)$ часов. Важно отметить, что время работы не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $x > 6$.

Производительность работы (часть котлована, вырываемая за 1 час) для первого экскаватора составляет $\frac{1}{x}$, а для второго — $\frac{1}{x-6}$.

Теперь проанализируем выполненную работу. Первый экскаватор работал один 2 часа, за это время он выполнил часть работы, равную $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.
После этого к нему присоединился второй экскаватор, и они вместе работали еще 1 час. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6}$.
За 1 час совместной работы они выполнили часть работы, равную $1 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6}) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-6}$.

Общая часть выполненной работы складывается из работы первого экскаватора в одиночку и их совместной работы. По условию, эта общая часть составляет $\frac{1}{4}$ котлована. Составим уравнение:
$\frac{2}{x} + \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6}\right) = \frac{1}{4}$

Упростим левую часть уравнения:
$\frac{3}{x} + \frac{1}{x-6} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-6)$:
$\frac{3(x-6) + 1 \cdot x}{x(x-6)} = \frac{1}{4}$
$\frac{3x - 18 + x}{x^2 - 6x} = \frac{1}{4}$
$\frac{4x - 18}{x^2 - 6x} = \frac{1}{4}$

Решим полученное уравнение с помощью перекрестного умножения:
$4(4x - 18) = 1(x^2 - 6x)$
$16x - 72 = x^2 - 6x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 16x + 72 = 0$
$x^2 - 22x + 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 484 - 288 = 196$
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 14}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x > 6$.
Корень $x_1 = 18$ удовлетворяет условию ($18 > 6$).
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию ($4 < 6$), так как в этом случае время работы второго экскаватора было бы $4 - 6 = -2$ часа, что физически невозможно.

Таким образом, единственным верным решением является $x = 18$. Это время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован.
Время для второго экскаватора составит: $x - 6 = 18 - 6 = 12$ часов.

Ответ: первый экскаватор может вырыть котлован за 18 часов, а второй — за 12 часов.