Номер 179, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 179, страница 86.

Условие.

179. Слиток меди и олова, содержавший 30 кг меди, сплавили с 60 кг меди. Процентное содержание меди в новом слитке на $15 \%$ больше, чем в исходном. Сколько килограммов олова содержится в слитке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим массу олова в исходном слитке через $x$ кг. Тогда общая масса исходного слитка составляет $(30 + x)$ кг.

Процентное содержание меди в исходном слитке равно:

$P_1 = \frac{30}{30 + x} \cdot 100\%$

После того как к исходному слитку добавили 60 кг меди, масса меди в новом слитке стала $30 + 60 = 90$ кг. Общая масса нового слитка стала $(30 + x) + 60 = (90 + x)$ кг.

Процентное содержание меди в новом слитке равно:

$P_2 = \frac{90}{90 + x} \cdot 100\%$

По условию задачи, процентное содержание меди в новом слитке на 15% больше, чем в исходном. Это означает, что разница между процентным содержанием составляет 15 процентных пунктов:

$P_2 - P_1 = 15$

Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$ в это уравнение:

$\frac{90}{90 + x} \cdot 100 - \frac{30}{30 + x} \cdot 100 = 15$

Разделим обе части уравнения на 15:

$\frac{90}{90 + x} \cdot \frac{100}{15} - \frac{30}{30 + x} \cdot \frac{100}{15} = 1$

$6 \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{90 + x} - 2 \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{30 + x} = 1$

Этот путь выглядит сложным, вернемся к исходному уравнению и приведем его к другому виду. Вынесем 100 за скобки:

$100 \left( \frac{90}{90 + x} - \frac{30}{30 + x} \right) = 15$

Разделим обе части на 100:

$\frac{90}{90 + x} - \frac{30}{30 + x} = \frac{15}{100} = 0.15$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{90(30 + x) - 30(90 + x)}{(90 + x)(30 + x)} = 0.15$

$\frac{2700 + 90x - 2700 - 30x}{x^2 + 30x + 90x + 2700} = 0.15$

$\frac{60x}{x^2 + 120x + 2700} = 0.15$

Теперь умножим обе части на знаменатель:

$60x = 0.15(x^2 + 120x + 2700)$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части на $\frac{1}{0.15} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$:

$60x \cdot \frac{1}{0.15} = x^2 + 120x + 2700$

$400x = x^2 + 120x + 2700$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 120x - 400x + 2700 = 0$

$x^2 - 280x + 2700 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-280)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2700 = 78400 - 10800 = 67600$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 \pm \sqrt{67600}}{2} = \frac{280 \pm 260}{2}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{280 - 260}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{280 + 260}{2} = \frac{540}{2} = 270$

Оба решения положительны, поэтому необходимо проверить каждое из них.

Проверка для $x = 10$ кг:

Исходный процент меди: $P_1 = \frac{30}{30 + 10} \cdot 100\% = \frac{30}{40} \cdot 100\% = 75\%$.

Новый процент меди: $P_2 = \frac{90}{90 + 10} \cdot 100\% = \frac{90}{100} \cdot 100\% = 90\%$.

Разница: $90\% - 75\% = 15\%$. Решение верное.

Проверка для $x = 270$ кг:

Исходный процент меди: $P_1 = \frac{30}{30 + 270} \cdot 100\% = \frac{30}{300} \cdot 100\% = 10\%$.

Новый процент меди: $P_2 = \frac{90}{90 + 270} \cdot 100\% = \frac{90}{360} \cdot 100\% = 25\%$.

Разница: $25\% - 10\% = 15\%$. Это решение также верное.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения массы олова.

Ответ: 10 кг или 270 кг.