Номер 179, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2014 - 2025
Цвет обложки: розовый, фиолетовый с папками
ISBN: 978-5-09-079636-1
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 3. Упражнения - номер 179, страница 86.
№179 (с. 86)
Условие. №179 (с. 86)
скриншот условия

179. Слиток меди и олова, содержавший 30 кг меди, сплавили с 60 кг меди. Процентное содержание меди в новом слитке на $15 \%$ больше, чем в исходном. Сколько килограммов олова содержится в слитке?
Решение 1. №179 (с. 86)

Решение 2. №179 (с. 86)

Решение 3. №179 (с. 86)
Обозначим массу олова в исходном слитке через $x$ кг. Тогда общая масса исходного слитка составляет $(30 + x)$ кг.
Процентное содержание меди в исходном слитке равно:
$P_1 = \frac{30}{30 + x} \cdot 100\%$
После того как к исходному слитку добавили 60 кг меди, масса меди в новом слитке стала $30 + 60 = 90$ кг. Общая масса нового слитка стала $(30 + x) + 60 = (90 + x)$ кг.
Процентное содержание меди в новом слитке равно:
$P_2 = \frac{90}{90 + x} \cdot 100\%$
По условию задачи, процентное содержание меди в новом слитке на 15% больше, чем в исходном. Это означает, что разница между процентным содержанием составляет 15 процентных пунктов:
$P_2 - P_1 = 15$
Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$ в это уравнение:
$\frac{90}{90 + x} \cdot 100 - \frac{30}{30 + x} \cdot 100 = 15$
Разделим обе части уравнения на 15:
$\frac{90}{90 + x} \cdot \frac{100}{15} - \frac{30}{30 + x} \cdot \frac{100}{15} = 1$
$6 \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{90 + x} - 2 \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{30 + x} = 1$
Этот путь выглядит сложным, вернемся к исходному уравнению и приведем его к другому виду. Вынесем 100 за скобки:
$100 \left( \frac{90}{90 + x} - \frac{30}{30 + x} \right) = 15$
Разделим обе части на 100:
$\frac{90}{90 + x} - \frac{30}{30 + x} = \frac{15}{100} = 0.15$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{90(30 + x) - 30(90 + x)}{(90 + x)(30 + x)} = 0.15$
$\frac{2700 + 90x - 2700 - 30x}{x^2 + 30x + 90x + 2700} = 0.15$
$\frac{60x}{x^2 + 120x + 2700} = 0.15$
Теперь умножим обе части на знаменатель:
$60x = 0.15(x^2 + 120x + 2700)$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части на $\frac{1}{0.15} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$:
$60x \cdot \frac{1}{0.15} = x^2 + 120x + 2700$
$400x = x^2 + 120x + 2700$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 120x - 400x + 2700 = 0$
$x^2 - 280x + 2700 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-280)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2700 = 78400 - 10800 = 67600$
Найдем корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 \pm \sqrt{67600}}{2} = \frac{280 \pm 260}{2}$
Получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = \frac{280 - 260}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{280 + 260}{2} = \frac{540}{2} = 270$
Оба решения положительны, поэтому необходимо проверить каждое из них.
Проверка для $x = 10$ кг:
Исходный процент меди: $P_1 = \frac{30}{30 + 10} \cdot 100\% = \frac{30}{40} \cdot 100\% = 75\%$.
Новый процент меди: $P_2 = \frac{90}{90 + 10} \cdot 100\% = \frac{90}{100} \cdot 100\% = 90\%$.
Разница: $90\% - 75\% = 15\%$. Решение верное.
Проверка для $x = 270$ кг:
Исходный процент меди: $P_1 = \frac{30}{30 + 270} \cdot 100\% = \frac{30}{300} \cdot 100\% = 10\%$.
Новый процент меди: $P_2 = \frac{90}{90 + 270} \cdot 100\% = \frac{90}{360} \cdot 100\% = 25\%$.
Разница: $25\% - 10\% = 15\%$. Это решение также верное.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения массы олова.
Ответ: 10 кг или 270 кг.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 179 расположенного на странице 86 к дидактическим материалам 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №179 (с. 86), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.