Номер 177, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Два маляра покрасили кабинет математики за 4 ч. За сколько часов может покрасить кабинет каждый маляр самостоятельно, если одному из них для этого требуется на 6 ч меньше, чем другому?

Примем всю работу по покраске кабинета за 1 (единицу).
Пусть $x$ часов — это время, за которое один из маляров (более медленный) может покрасить кабинет, работая самостоятельно.
Тогда, согласно условию, второму маляру (более быстрому) для выполнения той же работы потребуется на 6 часов меньше, то есть $(x - 6)$ часов.
Производительность (скорость работы) первого маляра составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в час, а производительность второго — $\frac{1}{x-6}$ часть работы в час.
Когда маляры работают вместе, их производительности складываются. Их общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6}$.
Из условия задачи известно, что вместе они покрасили кабинет за 4 часа. Это означает, что их совместная производительность составляет $\frac{1}{4}$ всей работы в час.
Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6} = \frac{1}{4}$
Для решения этого уравнения необходимо, чтобы $x \neq 0$ и $x \neq 6$. Так как $x$ — это время, оно должно быть положительным. Кроме того, разность $x-6$ также должна быть положительной, так как это тоже время, следовательно, $x > 6$.
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-6)$:
$\frac{x-6+x}{x(x-6)} = \frac{1}{4}$
$\frac{2x - 6}{x^2 - 6x} = \frac{1}{4}$
Применим правило пропорции (перекрестное умножение):
$4(2x - 6) = 1(x^2 - 6x)$
$8x - 24 = x^2 - 6x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 8x + 24 = 0$
$x^2 - 14x + 24 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.
По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 24. Легко подобрать числа 12 и 2, так как $12 + 2 = 14$ и $12 \cdot 2 = 24$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 12$ и $x_2 = 2$.
Теперь проверим, удовлетворяют ли корни условию $x > 6$.
Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет условию $12 > 6$. В этом случае время работы одного маляра составляет 12 часов, а второго — $12 - 6 = 6$ часов.
Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 6$. Если бы мы его использовали, время второго маляра было бы $2 - 6 = -4$ часа, что физически невозможно. Следовательно, этот корень является посторонним.
Таким образом, единственный подходящий корень — $x = 12$.
Значит, одному маляру требуется 12 часов, а другому 6 часов.
Ответ: один маляр может покрасить кабинет за 12 часов, а другой — за 6 часов.