Номер 172, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 172, страница 85.

Условие.

172. Автобус должен был проехать 280 км. Проехав $\frac{3}{7}$ этого расстояния, автобус увеличил свою скорость на 20 км/ч. Найдите скорость автобуса на каждом участке движения, если на весь путь было затрачено 4 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи разобьем весь путь на два участка и составим уравнение, исходя из общего времени движения.

1. Найдем расстояние каждого участка.

Общее расстояние составляет 280 км.

Первый участок пути составляет $\frac{3}{7}$ этого расстояния. Его длина $S_1$ равна:
$S_1 = 280 \cdot \frac{3}{7} = \frac{280 \cdot 3}{7} = 40 \cdot 3 = 120$ км.

Длина второго, оставшегося, участка $S_2$ равна:
$S_2 = 280 - 120 = 160$ км.

2. Составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч — скорость автобуса на первом участке.

После увеличения скорости на 20 км/ч, скорость на втором участке стала $(x + 20)$ км/ч.

Время, затраченное на первый участок, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, и оно равно $t_1 = \frac{120}{x}$ ч.

Время, затраченное на второй участок, равно $t_2 = \frac{160}{x + 20}$ ч.

Общее время в пути равно 4 часа, поэтому можем составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 4$
$\frac{120}{x} + \frac{160}{x + 20} = 4$

3. Решим составленное уравнение.

Для удобства разделим обе части уравнения на 4:
$\frac{30}{x} + \frac{40}{x + 20} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x + 20)$:
$\frac{30(x + 20) + 40x}{x(x + 20)} = 1$

Так как скорость $x$ не может быть равна 0 или -20, умножим обе части на $x(x + 20)$:
$30(x + 20) + 40x = x(x + 20)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$30x + 600 + 40x = x^2 + 20x$
$70x + 600 = x^2 + 20x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 20x - 70x - 600 = 0$
$x^2 - 50x - 600 = 0$

Найдем корни уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 2500 + 2400 = 4900$
$\sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70$

$x_1 = \frac{50 + 70}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{50 - 70}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -10$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость автобуса на первом участке была 60 км/ч.

4. Найдем скорость на втором участке.

Скорость на первом участке: $v_1 = x = 60$ км/ч.

Скорость на втором участке: $v_2 = x + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: Скорость автобуса на первом участке движения была 60 км/ч, а на втором участке — 80 км/ч.