Номер 165, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 165, страница 83.

Условие.

165. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 4x}{x - 7} = \frac{21}{x - 7};$

2) $\frac{x^2 - x}{x^2 - 9} = \frac{7x - 15}{x^2 - 9};$

3) $\frac{4x + 5}{x + 2} = \frac{2x - 7}{3x - 6};$

4) $\frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 13} = \frac{2}{21};$

5) $\frac{5}{x^2 + 3x} - \frac{15}{x^2 - 3x} = \frac{16}{x};$

6) $ \frac{x + 3}{x - 4} - \frac{2}{x - 3} = \frac{8x - 22}{(x - 4)(x - 3)}; $

7) $\frac{1}{x - 5} - \frac{2}{x^2 + 5x} = \frac{20}{x^3 - 25x};$

8) $\frac{1}{x - 4} - \frac{3}{x^2 + 4x + 16} = \frac{9x + 12}{x^3 - 64};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x^2 - 4x}{x - 7} = \frac{21}{x - 7}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$.
Так как знаменатели в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять числители:
$x^2 - 4x = 21$
$x^2 - 4x - 21 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -21$
Корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $x \neq 7$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

2) $\frac{x^2 - x}{x^2 - 9} = \frac{7x - 15}{x^2 - 9}$

ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Приравниваем числители, так как знаменатели одинаковы:
$x^2 - x = 7x - 15$
$x^2 - x - 7x + 15 = 0$
$x^2 - 8x + 15 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 8$
$x_1 \cdot x_2 = 15$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.
Проверим корни. Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, значит, он посторонний. Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

3) $\frac{4x + 5}{x + 2} = \frac{2x - 7}{3x - 6}$

ОДЗ: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $3x - 6 \neq 0 \implies 3(x-2) \neq 0 \implies x \neq 2$.
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(4x + 5)(3x - 6) = (2x - 7)(x + 2)$
$12x^2 - 24x + 15x - 30 = 2x^2 + 4x - 7x - 14$
$12x^2 - 9x - 30 = 2x^2 - 3x - 14$
$12x^2 - 2x^2 - 9x + 3x - 30 + 14 = 0$
$10x^2 - 6x - 16 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$5x^2 - 3x - 8 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-8) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{16}{10} = 1.6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 1,6.

4) $\frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 13} = \frac{2}{21}$

ОДЗ: $x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$ и $x + 13 \neq 0 \implies x \neq -13$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(x + 13) - (x + 5)}{(x + 5)(x + 13)} = \frac{2}{21}$
$\frac{x + 13 - x - 5}{x^2 + 18x + 65} = \frac{2}{21}$
$\frac{8}{x^2 + 18x + 65} = \frac{2}{21}$
Используем перекрестное умножение:
$2(x^2 + 18x + 65) = 8 \cdot 21$
$2x^2 + 36x + 130 = 168$
$2x^2 + 36x + 130 - 168 = 0$
$2x^2 + 36x - 38 = 0$
Разделим на 2:
$x^2 + 18x - 19 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -19$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -19; 1.

5) $\frac{5}{x^2 + 3x} - \frac{15}{x^2 - 3x} = \frac{16}{x}$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 + 3x = x(x+3)$, $x^2 - 3x = x(x-3)$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$, $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{5}{x(x + 3)} - \frac{15}{x(x - 3)} - \frac{16}{x} = 0$
Общий знаменатель $x(x+3)(x-3)$. Умножим уравнение на него, чтобы избавиться от дробей:
$5(x - 3) - 15(x + 3) - 16(x+3)(x-3) = 0$
$5x - 15 - 15x - 45 - 16(x^2 - 9) = 0$
$-10x - 60 - 16x^2 + 144 = 0$
$-16x^2 - 10x + 84 = 0$
Умножим на -1 и разделим на 2:
$8x^2 + 5x - 42 = 0$
$D = 5^2 - 4(8)(-42) = 25 + 1344 = 1369 = 37^2$
$x_1 = \frac{-5 + 37}{16} = \frac{32}{16} = 2$
$x_2 = \frac{-5 - 37}{16} = \frac{-42}{16} = -\frac{21}{8} = -2.625$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -2,625; 2.

6) $\frac{x+3}{x-4} - \frac{2}{x-3} = \frac{8x - 22}{(x-4)(x-3)}$

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$ и $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Общий знаменатель $(x-4)(x-3)$. Умножим уравнение на него:
$(x+3)(x-3) - 2(x-4) = 8x - 22$
$(x^2 - 9) - 2x + 8 = 8x - 22$
$x^2 - 2x - 1 = 8x - 22$
$x^2 - 2x - 8x - 1 + 22 = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = 7$.
Корень $x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 7.

7) $\frac{1}{x-5} - \frac{2}{x^2+5x} = \frac{20}{x^3 - 25x}$

Разложим знаменатели на множители: $x^2+5x=x(x+5)$, $x^3-25x = x(x^2-25) = x(x-5)(x+5)$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$, $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$.
Общий знаменатель $x(x-5)(x+5)$. Умножим уравнение на него:
$1 \cdot x(x+5) - 2(x-5) = 20$
$x^2 + 5x - 2x + 10 = 20$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -5$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

8) $\frac{1}{x-4} - \frac{3}{x^2+4x+16} = \frac{9x+12}{x^3-64}$

Разложим знаменатель в правой части по формуле разности кубов: $x^3-64 = (x-4)(x^2+4x+16)$.
Выражение $x^2+4x+16$ не равно нулю ни при каких действительных $x$, так как его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$.
ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
Общий знаменатель $(x-4)(x^2+4x+16)$. Умножим уравнение на него:
$1 \cdot (x^2+4x+16) - 3(x-4) = 9x+12$
$x^2+4x+16 - 3x+12 = 9x+12$
$x^2+x+28 = 9x+12$
$x^2+x-9x+28-12 = 0$
$x^2-8x+16 = 0$
Это полный квадрат: $(x-4)^2 = 0$.
Отсюда $x-4=0 \implies x=4$.
Полученный корень $x=4$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 4$), следовательно, он посторонний.

Ответ: корней нет.