Номер 160, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 160, страница 83.

Условие.

160. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 + 3x - 18}{x - 3}$;

2) $y = \frac{2x^2 + x - 3}{x - 1} - \frac{x^2 - 16}{x - 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \frac{x^2 + 3x - 18}{x - 3}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$x - 3 \neq 0$
$x \neq 3$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = 3$.

Теперь упростим выражение для функции. Разложим числитель $x^2 + 3x - 18$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а их произведение равно -18. Корнями являются числа -6 и 3.
Следовательно, $x^2 + 3x - 18 = (x - 3)(x + 6)$.

Подставим разложение в исходную функцию:
$y = \frac{(x - 3)(x + 6)}{x - 3}$

Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:
$y = x + 6$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 6$ при условии, что $x \neq 3$. Это прямая линия, на которой "выколота" одна точка.

Найдем координаты этой "выколотой" точки. Для этого подставим значение $x = 3$ в упрощенную функцию:
$y = 3 + 6 = 9$
Координаты выколотой точки — $(3; 9)$.

Для построения прямой $y = x + 6$ найдем две любые точки, принадлежащие ей:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 6 = 6$. Точка $(0; 6)$.
• Если $y = 0$, то $x + 6 = 0$, $x = -6$. Точка $(-6; 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 6$ с выколотой точкой $(3; 9)$.

---

2) $y = \frac{2x^2 + x - 3}{x - 1} - \frac{x^2 - 16}{x - 4}$

Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$
Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = 1$ и $x = 4$.

Упростим каждую дробь в выражении.
Для первой дроби разложим на множители числитель $2x^2 + x - 3$. Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Тогда $2x^2 + x - 3 = 2(x - 1)(x + \frac{3}{2}) = (x - 1)(2x + 3)$.
Первая дробь: $\frac{(x - 1)(2x + 3)}{x - 1} = 2x + 3$ (при $x \neq 1$).

Для второй дроби используем формулу разности квадратов в числителе $x^2 - 16$:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
Вторая дробь: $\frac{(x - 4)(x