Номер 160, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 + 3x - 18}{x - 3}$;

2) $y = \frac{2x^2 + x - 3}{x - 1} - \frac{x^2 - 16}{x - 4}$.

Для построения графиков таких функций сначала необходимо упростить их выражения, учитывая область допустимых значений (ОДЗ). Точки, в которых знаменатель обращается в ноль, будут "выколотыми" на графике.

1) $y = \frac{x^2 + 3x - 18}{x - 3}$

1. ОДЗ: Знаменатель не равен нулю, значит $x - 3 \neq 0 \Rightarrow \mathbf{x \neq 3}$.
2. Упрощение: Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$.
   По теореме Виета: $x_1 = -6, x_2 = 3$.
   Тогда $x^2 + 3x - 18 = (x + 6)(x - 3)$.
3. Сокращение: $y = \frac{(x + 6)(x - 3)}{x - 3} = x + 6$ при условии $x \neq 3$.

Вид графика: Прямая $y = x + 6$ с выколотой точкой $(3; 9)$ (подставили $x=3$ в упрощенное уравнение: $3+6=9$).

2) $y = \frac{2x^2 + x - 3}{x - 1} - \frac{x^2 - 16}{x - 4}$

1. ОДЗ: Знаменатели не равны нулю: $x - 1 \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$. Значит, $\mathbf{x \neq 1}$ и $\mathbf{x \neq 4}$.
2. Упрощение первой дроби:
   Разложим $2x^2 + x - 3$. Корни: $x = 1$ и $x = -1.5$.
   Разложение: $2(x - 1)(x + 1.5) = (x - 1)(2x + 3)$.
   $\frac{(x - 1)(2x + 3)}{x - 1} = 2x + 3$.
3. Упрощение второй дроби:
   Используем разность квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
   $\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$.
4. Итоговая функция:
   $y = (2x + 3) - (x + 4) = 2x + 3 - x - 4 = \mathbf{x - 1}$.

Вид графика: Прямая $y = x - 1$ с двумя выколотыми точками:

• При $x = 1$: $y = 1 - 1 = 0 \Rightarrow$ точка $(1; 0)$.
• При $x = 4$: $y = 4 - 1 = 3 \Rightarrow$ точка $(4; 3)$.