Номер 158, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 158, страница 82.

Условие.

158. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $b^2 - 15b + 14;$

2) $-x^2 - 6x + 7;$

3) $30y^2 - 10y - 100;$

4) $-\frac{1}{4}x^2 + 2x - 3;$

5) $\frac{1}{3}y^2 - \frac{2}{9}y - \frac{1}{9};$

6) $50x^2 - 160x + 128.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1) $b^2 - 15b + 14$

Решим квадратное уравнение $b^2 - 15b + 14 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, для которого коэффициенты равны $a=1$, $b=-15$, $c=14$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 225 - 56 = 169$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 13}{2} = \frac{28}{2} = 14$. $b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 13}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Подставим корни в формулу разложения $a(b-b_1)(b-b_2)$: $1 \cdot (b-14)(b-1) = (b-1)(b-14)$.

Ответ: $(b-1)(b-14)$.

2) $-x^2 - 6x + 7$

Решим квадратное уравнение $-x^2 - 6x + 7 = 0$. Коэффициенты: $a=-1$, $b=-6$, $c=7$. Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $x^2 + 6x - 7 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$. $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$. Подставим корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a=-1$: $a(x-x_1)(x-x_2) = -1 \cdot (x-1)(x-(-7)) = -(x-1)(x+7)$.

Ответ: $-(x-1)(x+7)$.

3) $30y^2 - 10y - 100$

Сначала вынесем за скобки общий множитель 10: $10(3y^2 - y - 10)$. Теперь разложим на множители трехчлен $3y^2 - y - 10$, решив уравнение $3y^2 - y - 10 = 0$. Коэффициенты: $a=3$, $b=-1$, $c=-10$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$. $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2$. $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$. Подставим корни в формулу разложения $a(y-y_1)(y-y_2)$: $3(y-2)(y-(-\frac{5}{3})) = 3(y-2)(y+\frac{5}{3})$. Внесем множитель 3 в вторую скобку: $(y-2)(3y+5)$. Вернемся к исходному выражению: $10(3y^2 - y - 10) = 10(y-2)(3y+5)$.

Ответ: $10(y-2)(3y+5)$.

4) $-\frac{1}{4}x^2 + 2x - 3$

Решим квадратное уравнение $-\frac{1}{4}x^2 + 2x - 3 = 0$. Коэффициенты: $a=-\frac{1}{4}$, $b=2$, $c=-3$. Умножим уравнение на $-4$, чтобы избавиться от дробей и отрицательного старшего коэффициента: $x^2 - 8x + 12 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$. $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Подставим корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a=-\frac{1}{4}$: $a(x-x_1)(x-x_2) = -\frac{1}{4}(x-6)(x-2)$.

Ответ: $-\frac{1}{4}(x-2)(x-6)$.

5) $\frac{1}{3}y^2 - \frac{2}{9}y - \frac{1}{9}$

Решим квадратное уравнение $\frac{1}{3}y^2 - \frac{2}{9}y - \frac{1}{9} = 0$. Коэффициенты: $a=\frac{1}{3}$, $b=-\frac{2}{9}$, $c=-\frac{1}{9}$. Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от дробей: $3y^2 - 2y - 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$. $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. Подставим корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a=\frac{1}{3}$: $a(y-y_1)(y-y_2) = \frac{1}{3}(y-1)(y-(-\frac{1}{3})) = \frac{1}{3}(y-1)(y+\frac{1}{3})$.

Ответ: $\frac{1}{3}(y-1)(y+\frac{1}{3})$.

6) $50x^2 - 160x + 128$

Вынесем за скобки общий множитель 2: $2(25x^2 - 80x + 64)$. Трехчлен в скобках $25x^2 - 80x + 64$ является полным квадратом разности, так как его можно представить в виде $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = 25x^2 = (5x)^2$, $b^2 = 64 = 8^2$, и средний член $2ab = 2 \cdot 5x \cdot 8 = 80x$. Таким образом, $25x^2 - 80x + 64 = (5x - 8)^2$. В итоге получаем: $2(5x-8)^2$. Можно также решить уравнение $50x^2 - 160x + 128 = 0$. $D = (-160)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 128 = 25600 - 25600 = 0$. Так как $D=0$, уравнение имеет один корень: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{160}{2 \cdot 50} = \frac{160}{100} = \frac{8}{5}$. Разложение: $a(x-x_1)^2 = 50(x-\frac{8}{5})^2 = 2 \cdot 25(x-\frac{8}{5})^2 = 2 \cdot (5(x-\frac{8}{5}))^2 = 2(5x-8)^2$.

Ответ: $2(5x-8)^2$.