Номер 159, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 159, страница 82.

Условие.

159. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - 7}$;

2) $\frac{4x - 8}{x^2 - 3x + 2}$;

3) $\frac{4x^2 + x - 5}{16x^2 - 25}$;

4) $\frac{25a^2 + 10a + 1}{5a^2 - 9a - 2}$;

5) $\frac{a^2 + 2a - 15}{a^2 - 7a + 12}$;

6) $\frac{x^3 - 1}{7x^2 - 5x - 2}$;

7) $\frac{25 - x^2}{35 - 2x - x^2}$;

8) $\frac{6 - x - x^2}{x^2 - 7x + 10}$;

9) $\frac{2x^2 + 3x - 2}{7x - 2x^2 - 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - 7}$ необходимо разложить числитель на множители. Числитель представляет собой квадратный трехчлен. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 7$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$. Таким образом, разложение на множители имеет вид: $x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)$. Подставим полученное выражение обратно в дробь: $\frac{(x - 1)(x - 7)}{x - 7}$ Сократим общий множитель $(x - 7)$, при условии, что $x - 7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$. В результате получаем $x - 1$.
Ответ: $x - 1$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{4x - 8}{x^2 - 3x + 2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель за скобки: $4x - 8 = 4(x - 2)$. В знаменателе решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Знаменатель раскладывается как $(x - 1)(x - 2)$. Дробь принимает вид: $\frac{4(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}$. Сокращаем на $(x - 2)$ при условии $x \neq 2$.
Ответ: $\frac{4}{x - 1}$.

3) Сократим дробь $\frac{4x^2 + x - 5}{16x^2 - 25}$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $4x^2 + x - 5$ найдем корни уравнения $4x^2 + x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$. Корни: $x_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$ и $x_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$. Разложение числителя: $4(x - 1)(x + \frac{5}{4}) = (x - 1)(4x + 5)$. Знаменатель $16x^2 - 25$ является разностью квадратов $(4x)^2 - 5^2$, которая раскладывается как $(4x - 5)(4x + 5)$. Подставляем в дробь: $\frac{(x - 1)(4x + 5)}{(4x - 5)(4x + 5)}$. Сокращаем на $(4x + 5)$ при $x \neq -\frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{x - 1}{4x - 5}$.

4) Сократим дробь $\frac{25a^2 + 10a + 1}{5a^2 - 9a - 2}$. Разложим числитель и знаменатель. Числитель $25a^2 + 10a + 1$ является полным квадратом суммы: $(5a)^2 + 2 \cdot 5a \cdot 1 + 1^2 = (5a + 1)^2$. Для знаменателя $5a^2 - 9a - 2$ найдем корни уравнения $5a^2 - 9a - 2 = 0$: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$. Корни: $a_1 = \frac{9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$ и $a_2 = \frac{9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$. Разложение знаменателя: $5(a - 2)(a + \frac{1}{5}) = (a - 2)(5a + 1)$. Дробь: $\frac{(5a + 1)^2}{(a - 2)(5a + 1)}$. Сокращаем на $(5a + 1)$ при $a \neq -\frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{5a + 1}{a - 2}$.

5) Сократим дробь $\frac{a^2 + 2a - 15}{a^2 - 7a + 12}$. Разложим числитель $a^2 + 2a - 15$, найдя корни уравнения $a^2 + 2a - 15 = 0$. По теореме Виета: $a_1 + a_2 = -2$, $a_1 \cdot a_2 = -15$. Корни: $a_1 = -5, a_2 = 3$. Разложение: $(a + 5)(a - 3)$. Разложим знаменатель $a^2 - 7a + 12$, найдя корни уравнения $a^2 - 7a + 12 = 0$. По теореме Виета: $a_1 + a_2 = 7$, $a_1 \cdot a_2 = 12$. Корни: $a_1 = 3, a_2 = 4$. Разложение: $(a - 3)(a - 4)$. Дробь: $\frac{(a + 5)(a - 3)}{(a - 3)(a - 4)}$. Сокращаем на $(a - 3)$ при $a \neq 3$.
Ответ: $\frac{a + 5}{a - 4}$.

6) Сократим дробь $\frac{x^3 - 1}{7x^2 - 5x - 2}$. Числитель $x^3 - 1$ — это разность кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Для знаменателя $7x^2 - 5x - 2$ найдем корни уравнения $7x^2 - 5x - 2 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. Корни: $x_1 = \frac{5 - 9}{14} = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7}$ и $x_2 = \frac{5 + 9}{14} = \frac{14}{14} = 1$. Разложение знаменателя: $7(x - 1)(x + \frac{2}{7}) = (x - 1)(7x + 2)$. Дробь: $\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(7x + 2)}$. Сокращаем на $(x - 1)$ при $x \neq 1$.
Ответ: $\frac{x^2 + x + 1}{7x + 2}$.

7) Сократим дробь $\frac{25 - x^2}{35 - 2x - x^2}$. Числитель $25 - x^2$ — это разность квадратов: $5^2 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$. Знаменатель $35 - 2x - x^2$ преобразуем: $-(x^2 + 2x - 35)$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -35$. Корни: $x_1 = -7, x_2 = 5$. Разложение знаменателя: $-(x - 5)(x + 7) = (5 - x)(x + 7)$. Дробь: $\frac{(5 - x)(5 + x)}{(5 - x)(x + 7)}$. Сокращаем на $(5 - x)$ при $x \neq 5$.
Ответ: $\frac{x + 5}{x + 7}$.

8) Сократим дробь $\frac{6 - x - x^2}{x^2 - 7x + 10}$. Разложим числитель $6 - x - x^2 = -(x^2 + x - 6)$. Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -3, x_2 = 2$. Разложение: $-(x - 2)(x + 3) = (2 - x)(x + 3)$. Разложим знаменатель $x^2 - 7x + 10$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 2, x_2 = 5$. Разложение: $(x - 2)(x - 5)$. Дробь: $\frac{(2 - x)(x + 3)}{(x - 2)(x - 5)} = \frac{-(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x - 5)}$. Сокращаем на $(x - 2)$ при $x \neq 2$. Получаем $\frac{-(x + 3)}{x - 5}$, что можно записать как $\frac{x + 3}{5 - x}$.
Ответ: $\frac{x + 3}{5 - x}$.

9) Сократим дробь $\frac{2x^2 + 3x - 2}{7x - 2x^2 - 3}$. Для числителя $2x^2 + 3x - 2$ найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Корни: $x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$. Разложение: $2(x - \frac{1}{2})(x + 2) = (2x - 1)(x + 2)$. Для знаменателя $7x - 2x^2 - 3 = -(2x^2 - 7x + 3)$ найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. Корни: $x_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3$. Разложение: $-(2(x - \frac{1}{2})(x - 3)) = -(2x - 1)(x - 3) = (2x - 1)(3 - x)$. Дробь: $\frac{(2x - 1)(x + 2)}{(2x - 1)(3 - x)}$. Сокращаем на $(2x - 1)$ при $x \neq \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{x + 2}{3 - x}$.