Номер 153, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2014 - 2025
Цвет обложки: розовый, фиолетовый с папками
ISBN: 978-5-09-079636-1
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 3. Упражнения - номер 153, страница 82.
№153 (с. 82)
Условие. №153 (с. 82)
скриншот условия

153. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 7x - 3 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения:
1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;
2) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$;
3) $x_1^2 + x_2^2$;
4) $x_1^3 + x_2^3$;
5) $(x_1 - x_2)^2$;
6) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.
Решение 1. №153 (с. 82)

Решение 2. №153 (с. 82)

Решение 3. №153 (с. 82)
Для решения данной задачи мы не будем находить сами корни $x_1$ и $x_2$. Вместо этого воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Для нашего уравнения $x^2 - 7x - 3 = 0$ имеем:
- Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$
- Произведение корней: $x_1 x_2 = -3$
Используя эти два соотношения, мы можем найти значения всех заданных выражений.
1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 x_2$:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$
Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:
$\frac{7}{-3} = -\frac{7}{3}$
Ответ: $-\frac{7}{3}$
2) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$
Вынесем за скобки общий множитель $x_1 x_2$:
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
Подставим значения произведения и суммы корней:
$(-3) \cdot 7 = -21$
Ответ: $-21$
3) $x_1^2 + x_2^2$
Это выражение можно получить из квадрата суммы корней. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Отсюда выразим искомую сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
Подставим известные значения:
$(7)^2 - 2(-3) = 49 + 6 = 55$
Ответ: $55$
4) $x_1^3 + x_2^3$
Используем формулу суммы кубов, выраженную через сумму и произведение: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
Подставим известные значения:
$(7)^3 - 3(-3)(7) = 343 - (-63) = 343 + 63 = 406$
Ответ: $406$
5) $(x_1 - x_2)^2$
Квадрат разности можно выразить через квадрат суммы следующим образом:
$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2) - 4x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$
Подставим известные значения:
$(7)^2 - 4(-3) = 49 - (-12) = 49 + 12 = 61$
Ответ: $61$
6) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x_1 x_2)^2$:
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}$
Значение числителя $x_1^2 + x_2^2$ мы уже нашли в пункте 3, оно равно $55$. Значение знаменателя — это квадрат произведения корней.
Подставим значения:
$\frac{55}{(-3)^2} = \frac{55}{9}$
Ответ: $\frac{55}{9}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 153 расположенного на странице 82 к дидактическим материалам 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №153 (с. 82), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.