Номер 153, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 153, страница 82.

Условие.

153. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 7x - 3 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$;

3) $x_1^2 + x_2^2$;

4) $x_1^3 + x_2^3$;

5) $(x_1 - x_2)^2$;

6) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи мы не будем находить сами корни $x_1$ и $x_2$. Вместо этого воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Для нашего уравнения $x^2 - 7x - 3 = 0$ имеем:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = -3$

Используя эти два соотношения, мы можем найти значения всех заданных выражений.

---

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 x_2$:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$\frac{7}{-3} = -\frac{7}{3}$

Ответ: $-\frac{7}{3}$

---

2) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$

Вынесем за скобки общий множитель $x_1 x_2$:

$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$

Подставим значения произведения и суммы корней:

$(-3) \cdot 7 = -21$

Ответ: $-21$

---

3) $x_1^2 + x_2^2$

Это выражение можно получить из квадрата суммы корней. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Отсюда выразим искомую сумму квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Подставим известные значения:

$(7)^2 - 2(-3) = 49 + 6 = 55$

Ответ: $55$

---

4) $x_1^3 + x_2^3$

Используем формулу суммы кубов, выраженную через сумму и произведение: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2)$

Подставим известные значения:

$(7)^3 - 3(-3)(7) = 343 - (-63) = 343 + 63 = 406$

Ответ: $406$

---

5) $(x_1 - x_2)^2$

Квадрат разности можно выразить через квадрат суммы следующим образом:

$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2) - 4x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$

Подставим известные значения:

$(7)^2 - 4(-3) = 49 - (-12) = 49 + 12 = 61$

Ответ: $61$

---

6) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x_1 x_2)^2$:

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}$

Значение числителя $x_1^2 + x_2^2$ мы уже нашли в пункте 3, оно равно $55$. Значение знаменателя — это квадрат произведения корней.

Подставим значения:

$\frac{55}{(-3)^2} = \frac{55}{9}$

Ответ: $\frac{55}{9}$