Номер 150, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 150, страница 81.

Условие.

150. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + bx + 150 = 0$ удовлетворяют условию $x_1 = 6x_2$. Найдите корни уравнения и значение $b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи об уравнении $x^2 + bx + 150 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют условию $x_1 = 6x_2$, воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для данного приведенного квадратного уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 150$

Мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($x_1$, $x_2$, $b$):

$\begin{cases}x_1 + x_2 = -b \\x_1 \cdot x_2 = 150 \\x_1 = 6x_2\end{cases}$

Сначала найдем значения корней. Для этого подставим выражение для $x_1$ из третьего уравнения во второе:

$(6x_2) \cdot x_2 = 150$

$6x_2^2 = 150$

Разделив обе части на 6, получим:

$x_2^2 = 25$

Из этого уравнения следует, что для $x_2$ есть два возможных значения: $x_2 = 5$ или $x_2 = -5$. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: $x_2 = 5$

Если $x_2 = 5$, то, используя условие $x_1 = 6x_2$, находим второй корень:

$x_1 = 6 \cdot 5 = 30$.

Таким образом, корни уравнения — 30 и 5. Теперь найдем значение коэффициента $b$, используя соотношение для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -b$

$30 + 5 = -b$

$35 = -b$, откуда $b = -35$.

Случай 2: $x_2 = -5$

Если $x_2 = -5$, то второй корень равен:

$x_1 = 6 \cdot (-5) = -30$.

Таким образом, корни уравнения — -30 и -5. Найдем соответствующее значение $b$:

$x_1 + x_2 = -b$

$-30 + (-5) = -b$

$-35 = -b$, откуда $b = 35$.

Таким образом, задача имеет два возможных набора решений, каждый из которых удовлетворяет исходным условиям.

Ответ: Существует два набора решений:
1) корни уравнения: $x_1=30, x_2=5$, значение $b = -35$;
2) корни уравнения: $x_1=-30, x_2=-5$, значение $b = 35$.