Номер 143, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) 3 и 5;

2) -2 и 1;

3) $- \frac{1}{4}$ и 3;

4) -0,3 и -10;

5) $- \frac{7}{12}$ и $\frac{3}{2}$;

6) $4 - \sqrt{17}$ и $4 + \sqrt{17}$;

7) $\sqrt{11}$ и $-\sqrt{11}$;

8) $-7 - 3\sqrt{2}$ и $-7 + 3\sqrt{2}$.

Чтобы составить квадратное уравнение по его корням, удобнее всего использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ справедливы равенства:

• $x_1 + x_2 = -p$ (сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком);
• $x_1 \cdot x_2 = q$ (произведение корней равно свободному члену).

После нахождения $p$ и $q$, если коэффициенты окажутся дробными, мы умножим всё уравнение на общий знаменатель, чтобы выполнить условие задачи о целых коэффициентах.

1) 3 и 5

• $-p = 3 + 5 = 8 \Rightarrow p = -8$
• $q = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: $x^2 - 8x + 15 = 0$

2) -2 и 1

• $-p = -2 + 1 = -1 \Rightarrow p = 1$
• $q = -2 \cdot 1 = -2$

Ответ: $x^2 + x - 2 = 0$

3) $-\frac{1}{4}$ и 3

• $-p = -\frac{1}{4} + 3 = 2,75 = \frac{11}{4} \Rightarrow p = -\frac{11}{4}$
• $q = -\frac{1}{4} \cdot 3 = -\frac{3}{4}$
• Уравнение: $x^2 - \frac{11}{4}x - \frac{3}{4} = 0$. Умножим на 4 для целых коэффициентов.

Ответ: $4x^2 - 11x - 3 = 0$

4) -0,3 и -10

• $-p = -0,3 + (-10) = -10,3 \Rightarrow p = 10,3 = \frac{103}{10}$
• $q = -0,3 \cdot (-10) = 3$
• Уравнение: $x^2 + 10,3x + 3 = 0$. Умножим на 10.

Ответ: $10x^2 + 103x + 30 = 0$

5) $-\frac{7}{12}$ и $\frac{3}{2}$

• $-p = -\frac{7}{12} + \frac{18}{12} = \frac{11}{12} \Rightarrow p = -\frac{11}{12}$
• $q = -\frac{7}{12} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{21}{24} = -\frac{7}{8}$
• Уравнение: $x^2 - \frac{11}{12}x - \frac{7}{8} = 0$. Общий знаменатель 24. Умножаем на 24.

Ответ: $24x^2 - 22x - 21 = 0$

6) $4 - \sqrt{17}$ и $4 + \sqrt{17}$

• $-p = (4 - \sqrt{17}) + (4 + \sqrt{17}) = 8 \Rightarrow p = -8$
• $q = (4 - \sqrt{17})(4 + \sqrt{17}) = 4^2 - (\sqrt{17})^2 = 16 - 17 = -1$

Ответ: $x^2 - 8x - 1 = 0$

7) $\sqrt{11}$ и $-\sqrt{11}$

• $-p = \sqrt{11} - \sqrt{11} = 0 \Rightarrow p = 0$
• $q = \sqrt{11} \cdot (-\sqrt{11}) = -11$

Ответ: $x^2 - 11 = 0$

8) $-7 - 3\sqrt{2}$ и $-7 + 3\sqrt{2}$

• $-p = (-7 - 3\sqrt{2}) + (-7 + 3\sqrt{2}) = -14 \Rightarrow p = 14$
• $q = (-7 - 3\sqrt{2})(-7 + 3\sqrt{2}) = (-7)^2 - (3\sqrt{2})^2 = 49 - (9 \cdot 2) = 49 - 18 = 31$

Ответ: $x^2 + 14x + 31 = 0$