Номер 143, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 143, страница 81.

Условие.

143. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) 3 и 5;

2) -2 и 1;

3) $- \frac{1}{4}$ и 3;

4) -0,3 и -10;

5) $- \frac{7}{12}$ и $\frac{3}{2}$;

6) $4 - \sqrt{17}$ и $4 + \sqrt{17}$;

7) $\sqrt{11}$ и $-\sqrt{11}$;

8) $-7 - 3\sqrt{2}$ и $-7 + 3\sqrt{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями $x_1$ и $x_2$ используется формула, основанная на теореме Виета: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$. Если после вычисления суммы и произведения корней коэффициенты получаются дробными, необходимо умножить все члены уравнения на общий знаменатель, чтобы получить целые коэффициенты, как того требует условие задачи.

1)

Даны корни $x_1=3$ и $x_2=5$.

Найдем сумму корней: $S = x_1+x_2 = 3+5=8$.

Найдем произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15$.

Подставляем найденные значения в формулу: $x^2 - (8)x + 15 = 0$. Коэффициенты уравнения (1, -8, 15) являются целыми.

Ответ: $x^2 - 8x + 15 = 0$.

2)

Даны корни $x_1=-2$ и $x_2=1$.

Сумма корней: $S = x_1+x_2 = -2+1=-1$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 1 = -2$.

Уравнение: $x^2 - (-1)x + (-2) = 0$, что равносильно $x^2 + x - 2 = 0$. Коэффициенты (1, 1, -2) — целые.

Ответ: $x^2 + x - 2 = 0$.

3)

Даны корни $x_1=-\frac{1}{4}$ и $x_2=3$.

Сумма корней: $S = x_1+x_2 = -\frac{1}{4}+3 = -\frac{1}{4}+\frac{12}{4} = \frac{11}{4}$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{4} \cdot 3 = -\frac{3}{4}$.

Уравнение имеет вид: $x^2 - \frac{11}{4}x - \frac{3}{4} = 0$.

Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на 4: $4(x^2 - \frac{11}{4}x - \frac{3}{4}) = 0$, что дает $4x^2 - 11x - 3 = 0$.

Ответ: $4x^2 - 11x - 3 = 0$.

4)

Даны корни $x_1=-0,3$ и $x_2=-10$. Представим $-0,3$ в виде дроби $-\frac{3}{10}$.

Сумма корней: $S = x_1+x_2 = -\frac{3}{10} - 10 = -\frac{3}{10} - \frac{100}{10} = -\frac{103}{10}$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\frac{3}{10}) \cdot (-10) = 3$.

Уравнение: $x^2 - (-\frac{103}{10})x +