Номер 138, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. При каком значении c имеет единственный корень уравнение:

1) $6x^2 + 12x + c = 0;$

2) $16x^2 + cx + 4 = 0?$

Квадратное уравнение общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) имеет ровно один корень (или, что то же самое, два совпадающих действительных корня) в том случае, когда его дискриминант равен нулю.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

1) Для уравнения $6x^2 + 12x + c = 0$.

В данном уравнении коэффициенты следующие: $a = 6$, $b = 12$. Свободный член представлен параметром $c$, значение которого нам необходимо найти.

Составим выражение для дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (12)^2 - 4 \cdot 6 \cdot c = 144 - 24c$.

Приравняем дискриминант к нулю, так как по условию уравнение должно иметь единственный корень:

$144 - 24c = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $c$:

$24c = 144$

$c = \frac{144}{24}$

$c = 6$

Таким образом, при $c=6$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $c = 6$.

2) Для уравнения $16x^2 + cx + 4 = 0$.

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 16$, $b = c$ (коэффициент при $x$ является искомым параметром), а свободный член равен 4.

Составим выражение для дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = c^2 - 4 \cdot 16 \cdot 4 = c^2 - 256$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$c^2 - 256 = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение:

$c^2 = 256$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных значения для $c$:

$c = \pm\sqrt{256}$

$c_1 = 16$ и $c_2 = -16$.

Следовательно, при $c=16$ и при $c=-16$ данное уравнение будет иметь единственный корень.

Ответ: $c = 16$ или $c = -16$.