Номер 131, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 131, страница 79.

Условие.

131. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 21 см, а диагональ прямоугольника — 39 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b.

Согласно условию, разность сторон равна 21 см. Предположим, что a — большая сторона, тогда можно составить первое уравнение:

$a - b = 21$

Из этого уравнения выразим сторону a через b:

$a = b + 21$

Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника a и b являются катетами, а диагональ d — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим в это уравнение известное значение диагонали $d = 39$ см:

$a^2 + b^2 = 39^2$

$a^2 + b^2 = 1521$

Теперь составим систему уравнений и решим её. Подставим выражение $a = b + 21$ во второе уравнение:

$(b + 21)^2 + b^2 = 1521$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$b^2 + 2 \cdot b \cdot 21 + 21^2 + b^2 = 1521$

$b^2 + 42b + 441 + b^2 = 1521$

Приведём подобные члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2b^2 + 42b + 441 - 1521 = 0$

$2b^2 + 42b - 1080 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$b^2 + 21b - 540 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = B^2 - 4AC$):

$D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601$

Найдём корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$

Теперь найдём корни уравнения для b:

$b_1 = \frac{-21 + 51}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$b_2 = \frac{-21 - 51}{2 \cdot 1} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, выбираем значение $b = 15$ см.

Теперь найдём длину второй стороны a:

$a = b + 21 = 15 + 21 = 36$ см.

Итак, стороны прямоугольника равны 15 см и 36 см.

Ответ: 15 см и 36 см.