Номер 130, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 130, страница 79.

Условие.

130. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 6 см меньше другого катета и на 12 см меньше гипотенузы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Согласно условию задачи, один из катетов на 6 см меньше другого катета и на 12 см меньше гипотенузы. Обозначим длину этого (меньшего) катета как $x$ см.

Тогда длины сторон треугольника можно выразить через $x$ следующим образом:
Первый катет: $a = x$ см.
Второй катет: $b = x + 6$ см.
Гипотенуза: $c = x + 12$ см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим выражения для сторон в эту формулу:
$x^2 + (x + 6)^2 = (x + 12)^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:
$x^2 + (x^2 + 12x + 36) = (x^2 + 24x + 144)$
$2x^2 + 12x + 36 = x^2 + 24x + 144$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$(2x^2 - x^2) + (12x - 24x) + (36 - 144) = 0$
$x^2 - 12x - 108 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 144 + 432 = 576$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x_1 = \frac{12 + \sqrt{576}}{2} = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{12 - \sqrt{576}}{2} = \frac{12 - 24}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Длина стороны треугольника не может быть отрицательным числом, поэтому корень $x_2 = -6$ не является решением задачи. Таким образом, длина первого катета составляет $x = 18$ см.

Теперь найдем длины остальных сторон:
Второй катет: $b = x + 6 = 18 + 6 = 24$ см.
Гипотенуза: $c = x + 12 = 18 + 12 = 30$ см.

Проверим, удовлетворяют ли найденные стороны теореме Пифагора:
$18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$
$30^2 = 900$
Равенство $900 = 900$ выполняется, значит, стороны найдены верно.

Ответ: стороны прямоугольного треугольника равны 18 см, 24 см и 30 см.