Номер 137, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 9x - 22} + \sqrt{x^2 - 5x - 14} = 0$

2) $x^2 - 16x + 64 + |x^2 - 3x - 40| = 0$

3) $\sqrt{x^2 - 49} + |x^2 + 2x - 80| = 0.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 9x - 22} + \sqrt{x^2 - 5x - 14} = 0$.
Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным ($ \sqrt{a} \ge 0 $), сумма двух квадратных корней равна нулю тогда и только тогда, когда оба подкоренных выражения равны нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - 9x - 22 = 0 \\ x^2 - 5x - 14 = 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение $x^2 - 9x - 22 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 13}{2}$.
$x_1 = \frac{9 + 13}{2} = 11$.
$x_2 = \frac{9 - 13}{2} = -2$.
Теперь решим второе уравнение $x^2 - 5x - 14 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 9}{2}$.
$x_3 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.
$x_4 = \frac{5 - 9}{2} = -2$.
Общим решением для обоих уравнений является корень $x = -2$, так как он присутствует в наборах корней обоих уравнений.
Ответ: $-2$.

2) Дано уравнение $x^2 - 16x + 64 + |x^2 - 3x - 40| = 0$.
Заметим, что выражение $x^2 - 16x + 64$ является полным квадратом: $(x-8)^2$.
Уравнение можно переписать в виде: $(x-8)^2 + |x^2 - 3x - 40| = 0$.
Выражение $(x-8)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Модуль числа $|x^2 - 3x - 40|$ также всегда неотрицателен. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} (x-8)^2 = 0 \\ x^2 - 3x - 40 = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения $(x-8)^2 = 0$ следует, что $x-8 = 0$, откуда $x=8$.
Проверим, удовлетворяет ли этот корень второму уравнению. Подставим $x=8$ в $x^2 - 3x - 40 = 0$:
$8^2 - 3 \cdot 8 - 40 = 64 - 24 - 40 = 40 - 40 = 0$.
Равенство выполняется. Следовательно, $x=8$ является единственным решением системы и исходного уравнения.
Ответ: $8$.

3) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 49} + |x^2 + 2x - 80| = 0$.
Квадратный корень $\sqrt{x^2 - 49}$ и модуль $|x^2 + 2x - 80|$ являются неотрицательными величинами. Их сумма равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Это приводит к системе уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - 49 = 0 \\ x^2 + 2x - 80 = 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение $x^2 - 49 = 0$.
$x^2 = 49$, откуда $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Теперь проверим, являются ли эти значения корнями второго уравнения $x^2 + 2x - 80 = 0$.
Для $x = 7$:
$7^2 + 2 \cdot 7 - 80 = 49 + 14 - 80 = 63 - 80 = -17 \neq 0$.
Для $x = -7$:
$(-7)^2 + 2 \cdot (-7) - 80 = 49 - 14 - 80 = 35 - 80 = -45 \neq 0$.
Ни один из корней первого уравнения не является корнем второго. Следовательно, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.