Номер 139, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 139, страница 80.

Условие.

139. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $x^2 + (2 - 4a)x + 3a^2 - 2a = 0;$

2) $x^2 - (7a + 2)x + 14a = 0;$

3) $3(a - 2)x^2 + (a - 5)x - 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Данное уравнение $x^2 + (2 - 4a)x + 3a^2 - 2a = 0$ является квадратным относительно переменной $x$ при любом значении параметра $a$. Найдем его дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $A = 1$, $B = 2 - 4a$, $C = 3a^2 - 2a$.

Дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (2 - 4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 - 2a) = (4 - 16a + 16a^2) - (12a^2 - 8a) = 16a^2 - 12a^2 - 16a + 8a + 4 = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a - 1)^2$.

Так как $D = (2(a - 1))^2 \ge 0$ при любом $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{4(a - 1)^2} = 2|a - 1|$.

$x = \frac{-(2 - 4a) \pm 2|a - 1|}{2 \cdot 1} = \frac{4a - 2 \pm 2|a - 1|}{2} = 2a - 1 \pm |a - 1|$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

а) Если $a \ge 1$, то $|a - 1| = a - 1$. Тогда корни:$x_1 = 2a - 1 + (a - 1) = 3a - 2$.$x_2 = 2a - 1 - (a - 1) = a$.

б) Если $a < 1$, то $|a - 1| = -(a - 1) = 1 - a$. Тогда корни:$x_1 = 2a - 1 + (1 - a) = a$.$x_2 = 2a - 1 - (1 - a) = 3a - 2$.

В обоих случаях получаем один и тот же набор корней. При $a=1$ корни совпадают и равны $1$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = a$, $x_2 = 3a - 2$.

2) Рассматриваем уравнение $x^2 - (7a + 2)x + 14a = 0$. Это квадратное уравнение относительно $x$ при любом $a$.

Коэффициенты: $A = 1$, $B = -(7a + 2)$, $C = 14a$.

Вычислим дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-(7a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (14a) = (7a + 2)^2 - 56a = (49a^2 + 28a + 4) - 56a = 49a^2 - 28a + 4 = (7a - 2)^2$.

Так как $D = (7a - 2)^2 \ge 0$ при любом $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{(7a - 2)^2} = |7a - 2|$.

$x = \frac{(7a + 2) \pm |7a - 2|}{2}$.

Рассмотрим два случая:

а) Если $7a - 2 \ge 0$, то есть $a \ge 2/7$, то $|7a - 2| = 7a - 2$. Корни:$x_1 = \frac{7a + 2 + (7a - 2)}{2} = \frac{14a}{2} = 7a$.$x_2 = \frac{7a + 2 - (7a - 2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

б) Если $7a - 2 < 0$, то есть $a < 2/7$, то $|7a - 2| = -(7a - 2) = 2 - 7a$. Корни:$x_1 = \frac{7a + 2 + (2 - 7a)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.$x_2 = \frac{7a + 2 - (2 - 7a)}{2} = \frac{14a}{2} = 7a$.

В обоих случаях получаем один и тот же набор корней. При $a=2/7$ корни совпадают и равны $2$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 7a$.

3) Рассмотрим уравнение $3(a - 2)x^2 + (a - 5)x - 1 = 0$.

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным.Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $3(a - 2) = 0 \implies a = 2$.При $a = 2$ подставим это значение в исходное уравнение:$3(2 - 2)x^2 + (2 - 5)x - 1 = 0$$0 \cdot x^2 - 3x - 1 = 0$$-3x = 1 \implies x = -1/3$.Таким образом, при $a=2$ уравнение имеет один корень $x = -1/3$.

Случай 2: Уравнение является квадратным.Это происходит, когда $a \ne 2$.Коэффициенты: $A = 3(a - 2)$, $B = a - 5$, $C = -1$.Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:$D = (a - 5)^2 - 4 \cdot 3(a - 2) \cdot (-1) = (a^2 - 10a + 25) + 12(a - 2) = a^2 - 10a + 25 + 12a - 24 = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{(a+1)^2} = |a+1|$.

$x = \frac{-(a - 5) \pm |a + 1|}{2 \cdot 3(a - 2)} = \frac{5 - a \pm |a + 1|}{6(a - 2)}$.

Корни существуют, если $D \ge 0$, что выполняется для всех $a$. Они различны, если $D > 0$, т.е. $a \ne -1$.При $a = -1$ (и $a \ne 2$), $D=0$, и корень один. Подставим $a=-1$ в формулу для корня: $x = \frac{5 - (-1)}{6(-1 - 2)} = \frac{6}{-18} = -1/3$.

При $a \ne -1$ и $a \ne 2$ имеем два различных корня. Раскроем модуль $|a+1|$:$x_1 = \frac{5 - a + (a + 1)}{6(a - 2)} = \frac{6}{6(a - 2)} = \frac{1}{a - 2}$.$x_2 = \frac{5 - a - (a + 1)}{6(a - 2)} = \frac{4 - 2a}{6(a - 2)} = \frac{-2(a - 2)}{6(a - 2)} = -\frac{1}{3}$.(Набор корней не зависит от знака $a+1$).

Объединим все результаты:

При $a=2$ есть один корень $x = -1/3$.

При $a=-1$ есть один корень $x = -1/3$.

При $a \ne 2$ и $a \ne -1$ есть два различных корня: $x_1 = \frac{1}{a-2}$ и $x_2 = -1/3$.

Ответ: если $a=2$ или $a=-1$, то $x = -1/3$; если $a \ne 2$ и $a \ne -1$, то $x_1 = -1/3$, $x_2 = \frac{1}{a-2}$.