Номер 133, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

еского произведения первого и второго чисел.

133. Найдите четыре последовательных чётных натуральных числа, если утроенное произведение второго и четвёртого чисел на 324 больше произведения первого и третьего чисел.

Обозначим искомые четыре последовательных чётных натуральных числа через переменные. Пусть первое число равно $x$. Поскольку числа являются последовательными чётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего.

• Первое число: $x$
• Второе число: $x + 2$
• Третье число: $x + 4$
• Четвёртое число: $x + 6$

Согласно условию задачи, утроенное произведение второго и четвёртого чисел на 324 больше произведения первого и третьего. Это можно записать в виде уравнения:

$3(x + 2)(x + 6) = x(x + 4) + 324$

Для решения раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3(x^2 + 6x + 2x + 12) = x^2 + 4x + 324$

$3(x^2 + 8x + 12) = x^2 + 4x + 324$

$3x^2 + 24x + 36 = x^2 + 4x + 324$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все слагаемые в левую часть:

$(3x^2 - x^2) + (24x - 4x) + (36 - 324) = 0$

$2x^2 + 20x - 288 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 10x - 144 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 100 + 576 = 676$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{676}}{2} = \frac{-10 + 26}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{676}}{2} = \frac{-10 - 26}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

В условии задачи говорится о натуральных числах, которые по определению являются целыми и положительными. Поэтому корень $x_2 = -18$ не подходит. Единственным подходящим решением является $x_1 = 8$.

Теперь определим все четыре числа:

• Первое число: $x = 8$
• Второе число: $x + 2 = 10$
• Третье число: $x + 4 = 12$
• Четвёртое число: $x + 6 = 14$

Проверим, выполняется ли условие задачи для чисел 8, 10, 12, 14.Утроенное произведение второго и четвёртого чисел: $3 \cdot 10 \cdot 14 = 420$.Произведение первого и третьего чисел: $8 \cdot 12 = 96$.Разница: $420 - 96 = 324$.Условие выполнено.

Ответ: 8, 10, 12, 14.