Номер 136, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 136, страница 80.

Условие.

136. Решите уравнение:

1) $x^2 + 2x + \frac{7}{x-6} = 48 + \frac{7}{x-6}$;

2) $(\sqrt{x} - 7)(24x^2 - 14x - 3) = 0$;

3) $(x^2 + 9x)(\sqrt{x} - 8)(x^2 - 12x - 45) = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 + 2x + \frac{7}{x-6} = 48 + \frac{7}{x-6}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как в уравнении есть дробь со знаменателем $x-6$, то знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 6 \neq 0$

$x \neq 6$

Теперь решим само уравнение. Заметим, что слагаемое $\frac{7}{x-6}$ присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем вычесть его из обеих частей:

$x^2 + 2x = 48$

Перенесем 48 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 48 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$a=1, b=2, c=-48$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 6$).

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -8$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-8$.

2) $(\sqrt{x} - 7)(24x^2 - 14x - 3) = 0$

ОДЗ для данного уравнения определяется наличием квадратного корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$x \ge 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Решим два уравнения:

а) $\sqrt{x} - 7 = 0$

$\sqrt{x} = 7$

Возводим обе части в квадрат: $x = 49$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($49 \ge 0$).

б) $24x^2 - 14x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-3) = 196 + 288 = 484 = 22^2$

$x_1 = \frac{14 + 22}{2 \cdot 24} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{14 - 22}{2 \cdot 24} = \frac{-8}{48} = -\frac{1}{6}$

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = \frac{3}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный. Это посторонний корень.

Объединяем все подходящие корни.

Ответ: $\frac{3}{4}; 49$.

3) $(x^2 + 9x)(\sqrt{x} - 8)(x^2 - 12x - 45) = 0$

ОДЗ уравнения определяется выражением под корнем: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

а) $x^2 + 9x = 0$

$x(x + 9) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = -9$. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = -9$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.

б) $\sqrt{x} - 8 = 0$

$\sqrt{x} = 8$

Возводим в квадрат: $x_3 = 64$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($64 \ge 0$).

в) $x^2 - 12x - 45 = 0$

Решим по теореме Виета. Сумма корней равна $12$, а произведение $-45$. Подбором находим корни: $x_4 = 15$ и $x_5 = -3$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_4 = 15$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_5 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ.

Собираем все корни, удовлетворяющие ОДЗ.

Ответ: $0; 15; 64$.