Номер 135, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 135, страница 80.

Условие.

135. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 11x - 6| = 6;$

2) $x^2 - 4|x| - 32 = 0;$

3) $x|x| + 5x - 4 = 0;$

4) $x^2 + 8\sqrt{x^2} - 20 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $|x^2 + 11x - 6| = 6$

Данное уравнение с модулем эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $x^2 + 11x - 6 = 6$

$x^2 + 11x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 13}{2}$.

$x_1 = \frac{-11 + 13}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-11 - 13}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

б) $x^2 + 11x - 6 = -6$

$x^2 + 11x = 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 11) = 0$.

Отсюда получаем еще два корня:

$x_3 = 0$ или $x + 11 = 0$, то есть $x_4 = -11$.

Объединяя все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $-12; -11; 0; 1$.

2) $x^2 - 4|x| - 32 = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде: $|x|^2 - 4|x| - 32 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $t^2 - 4t - 32 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а их произведение равно $-32$. Следовательно, корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 8$:

$|x| = 8$

Отсюда $x = 8$ или $x = -8$.

Ответ: $-8; 8$.

3) $x|x| + 5x - 4 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot x + 5x - 4 = 0$

$x^2 + 5x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$. Так как $\sqrt{41} > \sqrt{25} = 5$, то $-5 + \sqrt{41} > 0$, и $x_1 > 0$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$. Этот корень отрицательный, поэтому он не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot (-x) + 5x - 4 = 0$

$-x^2 + 5x - 4 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_3 = 1$ и $x_4 = 4$.

Оба корня ($1$ и $4$) не удовлетворяют условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$.

4) $x^2 + 8\sqrt{x^2} - 20 = 0$

Используем свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{x^2} = |x|$.

Уравнение можно переписать как: $x^2 + 8|x| - 20 = 0$.

Так как $x^2 = |x|^2$, получаем: $|x|^2 + 8|x| - 20 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $t^2 + 8t - 20 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $-20$. Следовательно, корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -10$.

Корень $t_2 = -10$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 2$:

$|x| = 2$

Отсюда $x = 2$ или $x = -2$.

Ответ: $-2; 2$.