Номер 129, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. При каких значениях $a$ число $\frac{1}{6}$ является корнем уравнения $2a^2x^2 + 3ax - 2 = 0$?

По условию задачи, число $x = \frac{1}{6}$ является корнем уравнения $2a^2x^2 + 3ax - 2 = 0$. Это означает, что если подставить значение $x = \frac{1}{6}$ в уравнение, оно обратится в верное числовое равенство.

Выполним подстановку $x = \frac{1}{6}$ в данное уравнение:

$2a^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 + 3a\left(\frac{1}{6}\right) - 2 = 0$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала возведем дробь в квадрат:

$2a^2\left(\frac{1}{36}\right) + \frac{3a}{6} - 2 = 0$

Выполним умножение и сократим дроби:

$\frac{2a^2}{36} + \frac{a}{2} - 2 = 0$

$\frac{a^2}{18} + \frac{a}{2} - 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $a$. Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 18:

$18 \cdot \left(\frac{a^2}{18}\right) + 18 \cdot \left(\frac{a}{2}\right) - 18 \cdot 2 = 18 \cdot 0$

$a^2 + 9a - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=9$, $c=-36$.

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

$a_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Таким образом, мы нашли два значения параметра $a$, при которых число $\frac{1}{6}$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: при $a = 3$ и $a = -12$.