Номер 124, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 124, страница 79.

Условие.

124. Решите уравнение:

1) $x^2 - 5|x| = 0;$

2) $x^2 - 3|x| + 4x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 - 5|x| = 0$

Данное уравнение содержит модуль. Заметим, что $x^2$ можно представить как $|x|^2$. Тогда уравнение примет вид:

$|x|^2 - 5|x| = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 5t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(t - 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = 5$

Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $t = 0$, то $|x| = 0$. Это уравнение имеет один корень: $x = 0$.

2. Если $t = 5$, то $|x| = 5$. Это уравнение имеет два корня: $x = 5$ и $x = -5$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: -5; 0; 5.

2) $x^2 - 3|x| + 4x = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль $|x|$. Это делается путем рассмотрения двух случаев.

Случай 1: $x \ge 0$

При этом условии $|x| = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 - 3x + 4x = 0$

$x^2 + x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 0$:

• $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge 0$. Следовательно, это корень уравнения.
• $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$. Следовательно, это не корень уравнения.

Случай 2: $x < 0$

При этом условии $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 - 3(-x) + 4x = 0$

$x^2 + 3x + 4x = 0$

$x^2 + 7x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 7) = 0$

Получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -7$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 0$:

• $x_3 = 0$ не удовлетворяет условию $0 < 0$. Следовательно, это не корень уравнения.
• $x_4 = -7$ удовлетворяет условию $-7 < 0$. Следовательно, это корень уравнения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня: 0 и -7.

Ответ: -7; 0.