Номер 118, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 118, страница 78.

Условие.

118. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\sqrt{a} + 6)^2 - 24\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a} - 7)^2 + 28\sqrt{a}};$

2) $\sqrt{c + 2\sqrt{c + 5} + 6} + \sqrt{c - 2\sqrt{c + 5} + 6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассмотрим выражение $ \sqrt{(\sqrt{a}+6)^2 - 24\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-7)^2 + 28\sqrt{a}} $.
Сначала упростим выражения под знаками корня.
Первое подкоренное выражение:
$ (\sqrt{a}+6)^2 - 24\sqrt{a} = ((\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2) - 24\sqrt{a} = (a + 12\sqrt{a} + 36) - 24\sqrt{a} = a - 12\sqrt{a} + 36 $.
Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $ a - 12\sqrt{a} + 36 = (\sqrt{a}-6)^2 $.
Второе подкоренное выражение:
$ (\sqrt{a}-7)^2 + 28\sqrt{a} = ((\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 7 + 7^2) + 28\sqrt{a} = (a - 14\sqrt{a} + 49) + 28\sqrt{a} = a + 14\sqrt{a} + 49 $.
Это выражение также является полным квадратом: $ a + 14\sqrt{a} + 49 = (\sqrt{a}+7)^2 $.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$ \sqrt{(\sqrt{a}-6)^2} + \sqrt{(\sqrt{a}+7)^2} $.
Используя тождество $ \sqrt{x^2} = |x| $, получаем:
$ |\sqrt{a}-6| + |\sqrt{a}+7| $.
Для существования выражения необходимо, чтобы $ a \ge 0 $. При этом условии $ \sqrt{a} \ge 0 $, а значит $ \sqrt{a}+7 $ всегда положительно. Следовательно, $ |\sqrt{a}+7| = \sqrt{a}+7 $.
Выражение упрощается до: $ |\sqrt{a}-6| + \sqrt{a}+7 $.
Для раскрытия оставшегося модуля необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения $ \sqrt{a}-6 $:
Случай 1: $ \sqrt{a}-6 \ge 0 $, что равносильно $ \sqrt{a} \ge 6 $, или $ a \ge 36 $.
В этом случае $ |\sqrt{a}-6| = \sqrt{a}-6 $. Выражение принимает вид:
$ (\sqrt{a}-6) + (\sqrt{a}+7) = 2\sqrt{a} + 1 $.
Случай 2: $ \sqrt{a}-6 < 0 $, что равносильно $ 0 \le \sqrt{a} < 6 $, или $ 0 \le a < 36 $.
В этом случае $ |\sqrt{a}-6| = -(\sqrt{a}-6) = 6-\sqrt{a} $. Выражение принимает вид:
$ (6-\sqrt{a}) + (\sqrt{a}+7) = 13 $.
Ответ: если $ a \ge 36 $, то выражение равно $ 2\sqrt{a}+1 $; если $ 0 \le a < 36 $, то выражение равно 13.

2) Рассмотрим выражение $ \sqrt{c+2\sqrt{c+5}+6} + \sqrt{c-2\sqrt{c+5}+6} $.
Область допустимых значений определяется условием подкоренного выражения $ c+5 \ge 0 $, то есть $ c \ge -5 $.
Преобразуем выражения под внешними корнями, чтобы выделить полные квадраты.
Первое подкоренное выражение:
$ c+2\sqrt{c+5}+6 = (c+5) + 2\sqrt{c+5} + 1 $.
Если сделать замену $ x = \sqrt{c+5} $, то выражение примет вид $ x^2+2x+1 = (x+1)^2 $.
Следовательно, $ c+2\sqrt{c+5}+6 = (\sqrt{c+5}+1)^2 $.
Второе подкоренное выражение:
$ c-2\sqrt{c+5}+6 = (c+5) - 2\sqrt{c+5} + 1 $.
С той же заменой $ x = \sqrt{c+5} $, выражение примет вид $ x^2-2x+1 = (x-1)^2 $.
Следовательно, $ c-2\sqrt{c+5}+6 = (\sqrt{c+5}-1)^2 $.
Подставив преобразованные выражения обратно, получим:
$ \sqrt{(\sqrt{c+5}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{c+5}-1)^2} $.
Используя тождество $ \sqrt{x^2} = |x| $, имеем:
$ |\sqrt{c+5}+1| + |\sqrt{c+5}-1| $.
Поскольку $ c \ge -5 $, то $ \sqrt{c+5} \ge 0 $, и выражение $ \sqrt{c+5}+1 $ всегда положительно.
Значит, $ |\sqrt{c+5}+1| = \sqrt{c+5}+1 $.
Выражение упрощается до: $ \sqrt{c+5}+1 + |\sqrt{c+5}-1| $.
Для раскрытия оставшегося модуля рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \sqrt{c+5}-1 \ge 0 $, то есть $ \sqrt{c+5} \ge 1 $. Возведя обе части в квадрат, получим $ c+5 \ge 1 $, откуда $ c \ge -4 $.
В этом случае $ |\sqrt{c+5}-1| = \sqrt{c+5}-1 $. Выражение становится:
$ (\sqrt{c+5}+1) + (\sqrt{c+5}-1) = 2\sqrt{c+5} $.
Случай 2: $ \sqrt{c+5}-1 < 0 $, то есть $ 0 \le \sqrt{c+5} < 1 $. Возведя в квадрат, получим $ 0 \le c+5 < 1 $, откуда $ -5 \le c < -4 $.
В этом случае $ |\sqrt{c+5}-1| = -(\sqrt{c+5}-1) = 1-\sqrt{c+5} $. Выражение становится:
$ (\sqrt{c+5}+1) + (1-\sqrt{c+5}) = 2 $.
Ответ: если $ c \ge -4 $, то выражение равно $ 2\sqrt{c+5} $; если $ -5 \le c < -4 $, то выражение равно 2.