Номер 116, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 116, страница 78.

Условие.

116. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{11} - 4)^2}$;

3) $\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}$;

4) $\sqrt{(6 - \sqrt{29})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{29})^2}$;

5) $\sqrt{(\sqrt{39} - 7)^2} - \sqrt{(\sqrt{39} - 6)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражений такого вида используется тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя его, получаем: $\sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $3 - \sqrt{7}$. Сравним числа $3$ и $\sqrt{7}$. Для этого сравним их квадраты: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Поскольку $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, а это значит, что разность $3 - \sqrt{7}$ является положительным числом. Следовательно, модуль раскрывается со знаком плюс: $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$. Ответ: $3 - \sqrt{7}$.

2) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(\sqrt{11} - 4)^2} = |\sqrt{11} - 4|$. Определим знак выражения под модулем, сравнив $\sqrt{11}$ и $4$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{11})^2 = 11$ и $4^2 = 16$. Так как $11 < 16$, то $\sqrt{11} < 4$. Следовательно, разность $\sqrt{11} - 4$ является отрицательным числом. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\sqrt{11} - 4| = -(\sqrt{11} - 4) = 4 - \sqrt{11}$. Ответ: $4 - \sqrt{11}$.

3) По тождеству $\sqrt{a^2} = |a|$ имеем: $\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{2} - \sqrt{3}|$. Сравним числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Так как функция квадратного корня возрастающая, из неравенства $2 < 3$ следует, что $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. Значит, разность $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ отрицательна. Раскрываем модуль: $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = -(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

4) Преобразуем каждое слагаемое по формуле $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(6 - \sqrt{29})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{29})^2} = |6 - \sqrt{29}| + |4 - \sqrt{29}|$. Раскроем каждый модуль.
Для $|6 - \sqrt{29}|$: сравним $6$ и $\sqrt{29}$. $6^2 = 36$, $(\sqrt{29})^2 = 29$. Так как $36 > 29$, то $6 > \sqrt{29}$, значит $6 - \sqrt{29} > 0$. Поэтому $|6 - \sqrt{29}| = 6 - \sqrt{29}$.
Для $|4 - \sqrt{29}|$: сравним $4$ и $\sqrt{29}$. $4^2 = 16$, $(\sqrt{29})^2 = 29$. Так как $16 < 29$, то $4 < \sqrt{29}$, значит $4 - \sqrt{29} < 0$. Поэтому $|4 - \sqrt{29}| = -(4 - \sqrt{29}) = \sqrt{29} - 4$.
Теперь подставим полученные выражения в сумму: $(6 - \sqrt{29}) + (\sqrt{29} - 4) = 6 - \sqrt{29} + \sqrt{29} - 4 = 2$. Ответ: $2$.

5) Преобразуем выражение, используя $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(\sqrt{39} - 7)^2} - \sqrt{(\sqrt{39} - 6)^2} = |\sqrt{39} - 7| - |\sqrt{39} - 6|$. Раскроем каждый модуль.
Для $|\sqrt{39} - 7|$: сравним $\sqrt{39}$ и $7$. $(\sqrt{39})^2 = 39$, $7^2 = 49$. Так как $39 < 49$, то $\sqrt{39} < 7$, значит $\sqrt{39} - 7 < 0$. Поэтому $|\sqrt{39} - 7| = -(\sqrt{39} - 7) = 7 - \sqrt{39}$.
Для $|\sqrt{39} - 6|$: сравним $\sqrt{39}$ и $6$. $(\sqrt{39})^2 = 39$, $6^2 = 36$. Так как $39 > 36$, то $\sqrt{39} > 6$, значит $\sqrt{39} - 6 > 0$. Поэтому $|\sqrt{39} - 6| = \sqrt{39} - 6$.
Теперь выполним вычитание: $(7 - \sqrt{39}) - (\sqrt{39} - 6) = 7 - \sqrt{39} - \sqrt{39} + 6 = 13 - 2\sqrt{39}$. Ответ: $13 - 2\sqrt{39}$.