Номер 114, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 114, страница 78.

Условие.

114. При каких значениях $x$ выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} \geq 5;$

2) $\sqrt{x} < 10;$

3) $4 \leq \sqrt{x} < 30?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения неравенства $\sqrt{x} \ge 5$ необходимо выполнить два шага.
Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, следовательно, $x \ge 0$.
Во-вторых, решим само неравенство. Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 5) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \ge 5^2$
$x \ge 25$
Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем два условия: $x \ge 25$ и $x \ge 0$. Общим решением, удовлетворяющим обоим условиям, является $x \ge 25$.
Ответ: $x \ge 25$, или в виде интервала $x \in [25, +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x} < 10$.
ОДЗ для этого неравенства: $x \ge 0$.
Обе части неравенства неотрицательны (так как $\sqrt{x} \ge 0$, а 10 > 0). Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 < 10^2$
$x < 100$
Совместим полученное решение с ОДЗ. Необходимо, чтобы выполнялись оба условия: $x < 100$ и $x \ge 0$. Это можно записать в виде двойного неравенства.
Ответ: $0 \le x < 100$, или в виде интервала $x \in [0, 100)$.

3) Рассмотрим двойное неравенство $4 \le \sqrt{x} < 30$.
ОДЗ для $\sqrt{x}$ по-прежнему $x \ge 0$.
Все три части данного двойного неравенства ($4$, $\sqrt{x}$ и $30$) являются неотрицательными. Это позволяет нам возвести все части в квадрат, сохраняя знаки неравенств:
$4^2 \le (\sqrt{x})^2 < 30^2$
$16 \le x < 900$
Полученное решение $x \ge 16$ уже удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), так как любое число, большее или равное 16, автоматически является неотрицательным. Таким образом, дополнительно учитывать ОДЗ не требуется.
Ответ: $16 \le x < 900$, или в виде интервала $x \in [16, 900)$.