Номер 107, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 107, страница 77.

Условие.

107. Известно, что $\sqrt{7 - c} + \sqrt{c - 2} = 3$. Найдите значение выражения $\sqrt{(7 - c)(c - 2)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение:

Нам дано уравнение $\sqrt{7-c} + \sqrt{c-2} = 3$ и необходимо найти значение выражения $\sqrt{(7-c)(c-2)}$.

Самый прямой способ решения — возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это преобразование является равносильным, так как обе части уравнения неотрицательны (сумма арифметических корней слева и положительное число справа).

$(\sqrt{7-c} + \sqrt{c-2})^2 = 3^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{7-c})^2 + 2 \cdot \sqrt{7-c} \cdot \sqrt{c-2} + (\sqrt{c-2})^2 = 9$

Упростим выражение. Так как подкоренные выражения по определению корня неотрицательны, то $(\sqrt{k})^2=k$ и $\sqrt{A}\sqrt{B} = \sqrt{AB}$.

$(7-c) + 2\sqrt{(7-c)(c-2)} + (c-2) = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(7-2) + (-c+c) + 2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 9$

$5 + 2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 9$

Теперь из полученного уравнения выразим искомое выражение $\sqrt{(7-c)(c-2)}$. Для этого сначала изолируем слагаемое, содержащее корень:

$2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 9 - 5$

$2\sqrt{(7-c)(c-2)} = 4$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{(7-c)(c-2)} = \frac{4}{2}$

$\sqrt{(7-c)(c-2)} = 2$

Таким образом, мы нашли значение искомого выражения.

Ответ: 2