Номер 101, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 101, страница 76.

Условие.

101. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{45} + \sqrt{180}) \cdot \sqrt{5}$

2) $(6\sqrt{2} - 3\sqrt{50} + \sqrt{72}) \cdot \sqrt{2}$

3) $(4 - \sqrt{6})(2 + 3\sqrt{6})$

4) $(2\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + 6\sqrt{2})$

5) $(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13})$

6) $(6\sqrt{m} + 8\sqrt{n})(6\sqrt{m} - 8\sqrt{n})$

7) $(\sqrt{3} + 2)^2$

8) $(2\sqrt{6} - 3\sqrt{7})^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения выражения $(\sqrt{45} + \sqrt{180}) \cdot \sqrt{5}$ сначала упростим корни в скобках, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3\sqrt{5} + 6\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$

Сложим слагаемые в скобках:

$(9\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = 9 \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 9 \cdot 5 = 45$

Ответ: $45$

2) Чтобы решить выражение $(6\sqrt{2} - 3\sqrt{50} + \sqrt{72}) \cdot \sqrt{2}$, раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt{2}$:

$6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{50} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{72} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 - 3\sqrt{50 \cdot 2} + \sqrt{72 \cdot 2}$

Выполним вычисления:

$6 \cdot 2 - 3\sqrt{100} + \sqrt{144} = 12 - 3 \cdot 10 + 12 = 12 - 30 + 12 = -6$

Ответ: $-6$

3) Для умножения двух скобок $(4 - \sqrt{6})(2 + 3\sqrt{6})$ используем правило умножения многочленов: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки.

$(4 - \sqrt{6})(2 + 3\sqrt{6}) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3\sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 2 - \sqrt{6} \cdot 3\sqrt{6}$

Выполним умножение:

$8 + 12\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 3 \cdot (\sqrt{6})^2 = 8 + 12\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 3 \cdot 6$

Приведем подобные слагаемые:

$8 + (12 - 2)\sqrt{6} - 18 = 8 + 10\sqrt{6} - 18 = -10 + 10\sqrt{6}$

Ответ: $-10 + 10\sqrt{6}$

4) Для умножения $(2\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + 6\sqrt{2})$ также используем правило умножения многочленов.

$(2\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + 6\sqrt{2}) = 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 2\sqrt{7} \cdot 6\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}$

Выполним умножение:

$2 \cdot (\sqrt{7})^2 + 12\sqrt{7 \cdot 2} - \sqrt{2 \cdot 7} - 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 7 + 12\sqrt{14} - \sqrt{14} - 6 \cdot 2$

Приведем подобные слагаемые:

$14 + (12-1)\sqrt{14} - 12 = 2 + 11\sqrt{14}$

Ответ: $2 + 11\sqrt{14}$

5) Выражение $(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13})$ представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{19}$ и $b = \sqrt{13}$.

$(\sqrt{19})^2 - (\sqrt{13})^2 = 19 - 13 = 6$

Ответ: $6$

6) Выражение $(6\sqrt{m} + 8\sqrt{n})(6\sqrt{m} - 8\sqrt{n})$ также является разностью квадратов. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = 6\sqrt{m}$ и $b = 8\sqrt{n}$.

$(6\sqrt{m})^2 - (8\sqrt{n})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{m})^2 - 8^2 \cdot (\sqrt{n})^2 = 36m - 64n$

Ответ: $36m - 64n$

7) Для вычисления $(\sqrt{3} + 2)^2$ используем формулу сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = \sqrt{3}$ и $b = 2$.

$(\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4$

Сложим числовые слагаемые:

$7 + 4\sqrt{3}$

Ответ: $7 + 4\sqrt{3}$

8) Для вычисления $(2\sqrt{6} - 3\sqrt{7})^2$ используем формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2\sqrt{6}$ и $b = 3\sqrt{7}$.

$(2\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{6}) \cdot (3\sqrt{7}) + (3\sqrt{7})^2 = (2^2 \cdot 6) - (2 \cdot 2 \cdot 3)\sqrt{6 \cdot 7} + (3^2 \cdot 7)$

Выполним вычисления:

$(4 \cdot 6) - 12\sqrt{42} + (9 \cdot 7) = 24 - 12\sqrt{42} + 63$

Сложим числовые слагаемые:

$87 - 12\sqrt{42}$

Ответ: $87 - 12\sqrt{42}$