Номер 99, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Внесите множитель под знак корня:

1) $c\sqrt{15}$;

2) $m\sqrt{n}$, если $m \ge 0$;

3) $x^7\sqrt{-x}$;

4) $8c\sqrt{\frac{c}{32}}$;

5) $(p+1)\sqrt{\frac{1}{p+1}}$;

6) $(b-4)\sqrt{\frac{1}{20-5b}}$.

1) Чтобы внести множитель $c$ под знак корня в выражении $c\sqrt{15}$, нужно рассмотреть два случая, так как знак $c$ не указан.

Случай 1: $c \ge 0$ (множитель неотрицательный).

В этом случае $c = \sqrt{c^2}$. Тогда:

$c\sqrt{15} = \sqrt{c^2} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{15c^2}$.

Случай 2: $c < 0$ (множитель отрицательный).

В этом случае $c$ можно представить как $c = -|c| = -\sqrt{c^2}$. При внесении множителя под корень, знак минус остается перед корнем:

$c\sqrt{15} = -\sqrt{c^2} \cdot \sqrt{15} = -\sqrt{15c^2}$.

Ответ: $\sqrt{15c^2}$ при $c \ge 0$; $-\sqrt{15c^2}$ при $c < 0$.

2) В выражении $m\sqrt{n}$ дано условие $m \ge 0$.

Поскольку множитель $m$ неотрицательный, мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат: $m = \sqrt{m^2}$.

$m\sqrt{n} = \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{m^2n}$.

Для существования исходного выражения также должно выполняться условие $n \ge 0$.

Ответ: $\sqrt{m^2n}$.

3) Рассмотрим выражение $x^7\sqrt{-x}$.

Подкоренное выражение $\sqrt{-x}$ определено, если $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.

Если $x=0$, выражение равно 0.

Если $x < 0$, то множитель $x^7$ будет отрицательным (отрицательное число в нечетной степени).

При внесении отрицательного множителя $A$ под знак корня используется правило: $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2B}$.

В данном случае $A = x^7$ и $B = -x$.

$x^7\sqrt{-x} = -\sqrt{(x^7)^2 \cdot (-x)} = -\sqrt{x^{14} \cdot (-x)} = -\sqrt{-x^{15}}$.

Ответ: $-\sqrt{-x^{15}}$.

4) В выражении $8c\sqrt{\frac{c}{32}}$ подкоренное выражение $\frac{c}{32}$ должно быть неотрицательным, что означает $c \ge 0$.

Так как $c \ge 0$, то множитель $8c$ также неотрицателен.

Вносим неотрицательный множитель под корень, возводя его в квадрат:

$8c\sqrt{\frac{c}{32}} = \sqrt{(8c)^2 \cdot \frac{c}{32}} = \sqrt{64c^2 \cdot \frac{c}{32}}$.

Теперь упростим выражение под корнем:

$64c^2 \cdot \frac{c}{32} = \frac{64}{32} \cdot c^2 \cdot c = 2c^3$.

Ответ: $\sqrt{2c^3}$.

5) В выражении $(p+1)\sqrt{\frac{1}{p+1}}$ подкоренное выражение должно быть положительным (знаменатель не может быть равен нулю), то есть $\frac{1}{p+1} > 0$.

Это условие выполняется, когда $p+1 > 0$.

Поскольку множитель $(p+1)$ положителен, вносим его под корень, возведя в квадрат:

$(p+1)\sqrt{\frac{1}{p+1}} = \sqrt{(p+1)^2 \cdot \frac{1}{p+1}}$.

Упрощаем выражение под корнем:

$\frac{(p+1)^2}{p+1} = p+1$.

Ответ: $\sqrt{p+1}$.

6) В выражении $(b-4)\sqrt{\frac{1}{20-5b}}$ область определения задается условием $\frac{1}{20-5b} > 0$.

Это означает, что $20-5b > 0$, откуда $20 > 5b$, то есть $b < 4$.

При условии $b < 4$ множитель $(b-4)$ является отрицательным.

Применяем правило для внесения отрицательного множителя $A$: $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2B}$.

$(b-4)\sqrt{\frac{1}{20-5b}} = -\sqrt{(b-4)^2 \cdot \frac{1}{20-5b}}$.

Упростим выражение под корнем. Заметим, что $20-5b = 5(4-b)$ и $(b-4)^2 = (4-b)^2$.

$(b-4)^2 \cdot \frac{1}{5(4-b)} = \frac{(4-b)^2}{5(4-b)} = \frac{4-b}{5}$.

Следовательно, получаем:

Ответ: $-\sqrt{\frac{4-b}{5}}$.